MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlt2 Unicode version

Theorem radcnvlt2 19848
Description: If  X is within the open disk of radius  R centered at zero, then the infinite series converges at  X. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
radcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
radcnv.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
radcnvlt.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
radcnvlt.a  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
radcnvlt2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( G `  X ) )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    x, n, A    G, r
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( r)    R( x, n, r)    G( x, n)    X( x, n, r)

Proof of Theorem radcnvlt2
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10309 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10082 . . 3  |-  0  e.  ZZ
32a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 pser.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
5 radcnv.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
6 radcnvlt.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
74, 5, 6psergf 19841 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
8 fvco3 5634 . . 3  |-  ( ( ( G `  X
) : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs  o.  ( G `  X ) ) `  k )  =  ( abs `  (
( G `  X
) `  k )
) )
97, 8sylan 457 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( abs  o.  ( G `  X ) ) `  k )  =  ( abs `  ( ( G `  X ) `
 k ) ) )
10 ffvelrn 5701 . . 3  |-  ( ( ( G `  X
) : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  k
)  e.  CC )
117, 10sylan 457 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  k )  e.  CC )
12 radcnv.r . . . 4  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
13 radcnvlt.a . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  R )
14 id 19 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  m  =  k )
15 fveq2 5563 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( G `  X
) `  m )  =  ( ( G `
 X ) `  k ) )
1615fveq2d 5567 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) )  =  ( abs `  (
( G `  X
) `  k )
) )
1714, 16oveq12d 5918 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
m  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  k ) ) ) )
1817cbvmptv 4148 . . . 4  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  k ) ) ) )
194, 5, 12, 6, 13, 18radcnvlt1 19847 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) ) )  e.  dom  ~~>  /\  seq  0 (  +  , 
( abs  o.  ( G `  X )
) )  e.  dom  ~~>  ) )
2019simprd 449 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( abs  o.  ( G `  X ) ) )  e.  dom  ~~>  )
211, 3, 9, 11, 20abscvgcvg 12324 1  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( G `  X ) )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701   {crab 2581   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   dom cdm 4726    o. ccom 4730   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   supcsup 7238   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782    + caddc 8785    x. cmul 8787   RR*cxr 8911    < clt 8912   NN0cn0 10012   ZZcz 10071    seq cseq 11093   ^cexp 11151   abscabs 11766    ~~> cli 12005
This theorem is referenced by:  pserulm  19851  pserdvlem2  19857  abelthlem3  19862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-limsup 11992  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206
  Copyright terms: Public domain W3C validator