MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralidm Unicode version

Theorem ralidm 3557
Description: Idempotent law for restricted quantifier. (Contributed by NM, 28-Mar-1997.)
Assertion
Ref Expression
ralidm  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ralidm
StepHypRef Expression
1 rzal 3555 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph )
2 rzal 3555 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  ph )
31, 22thd 231 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph ) )
4 neq0 3465 . . 3  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
5 biimt 325 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ph  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
6 df-ral 2548 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
7 nfra1 2593 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  A  ph
8719.23 1797 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
96, 8bitri 240 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
105, 9syl6rbbr 255 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph ) )
114, 10sylbi 187 . 2  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph ) )
123, 11pm2.61i 156 1  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   (/)c0 3455
This theorem is referenced by:  dfwe2  4573  issref  5056  cnvpo  5213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-v 2790  df-dif 3155  df-nul 3456
  Copyright terms: Public domain W3C validator