MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralrn Unicode version

Theorem ralrn 5668
Description: Restricted universal quantification over the range of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexrn.1  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ralrn  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. x  e.  ran  F
ph 
<-> 
A. y  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    ps, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem ralrn
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . . 3  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
21a1i 10 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y
)  e.  _V )
3 fvelrnb 5570 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  ran  F  <->  E. y  e.  A  ( F `  y )  =  x ) )
4 eqcom 2285 . . . 4  |-  ( ( F `  y )  =  x  <->  x  =  ( F `  y ) )
54rexbii 2568 . . 3  |-  ( E. y  e.  A  ( F `  y )  =  x  <->  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
63, 5syl6bb 252 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  ran  F  <->  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) ) )
7 rexrn.1 . . 3  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
87adantl 452 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  =  ( F `  y ) )  -> 
( ph  <->  ps ) )
92, 6, 8ralxfr2d 4550 1  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. x  e.  ran  F
ph 
<-> 
A. y  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   ran crn 4690    Fn wfn 5250   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  ralrnmpt  5669  cbvfo  5799  isoselem  5838  indexfi  7163  ordtypelem9  7241  ordtypelem10  7242  wemapwe  7400  numacn  7676  acndom  7678  rpnnen1lem3  10344  fsequb2  11038  limsuple  11952  limsupval2  11954  climsup  12143  ruclem11  12518  ruclem12  12519  prmreclem6  12968  imasaddfnlem  13430  imasvscafn  13439  cycsubgcl  14643  ghmrn  14696  ghmnsgima  14706  pgpssslw  14925  gexex  15145  dprdfcntz  15250  znf1o  16505  ptcnplem  17315  kqt0lem  17427  isr0  17428  regr1lem2  17431  uzrest  17592  tmdgsum2  17779  imasf1oxmet  17939  imasf1omet  17940  bndth  18456  evth  18457  ovolficcss  18829  ovollb2lem  18847  ovolunlem1  18856  ovoliunlem1  18861  ovoliunlem2  18862  ovoliun2  18865  ovolscalem1  18872  ovolicc1  18875  voliunlem2  18908  voliunlem3  18909  ioombl1lem4  18918  uniioovol  18934  uniioombllem2  18938  uniioombllem3  18940  uniioombllem6  18943  volsup2  18960  vitalilem3  18965  mbfsup  19019  mbfinf  19020  mbflimsup  19021  itg1ge0  19041  itg1mulc  19059  itg1climres  19069  mbfi1fseqlem4  19073  itg2seq  19097  itg2monolem1  19105  itg2mono  19108  itg2i1fseq2  19111  itg2gt0  19115  itg2cnlem1  19116  itg2cn  19118  limciun  19244  plycpn  19669  hmopidmchi  22731  hmopidmpji  22732  rge0scvg  23373  ismtyhmeolem  26528  nacsfix  26787  fnwe2lem2  27148  frlmlbs  27249  lindfrn  27291  climinf  27732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator