MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralrn Unicode version

Theorem ralrn 5684
Description: Restricted universal quantification over the range of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexrn.1  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ralrn  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. x  e.  ran  F
ph 
<-> 
A. y  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    ps, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem ralrn
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . 3  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
21a1i 10 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y
)  e.  _V )
3 fvelrnb 5586 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  ran  F  <->  E. y  e.  A  ( F `  y )  =  x ) )
4 eqcom 2298 . . . 4  |-  ( ( F `  y )  =  x  <->  x  =  ( F `  y ) )
54rexbii 2581 . . 3  |-  ( E. y  e.  A  ( F `  y )  =  x  <->  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
63, 5syl6bb 252 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  ran  F  <->  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) ) )
7 rexrn.1 . . 3  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
87adantl 452 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  =  ( F `  y ) )  -> 
( ph  <->  ps ) )
92, 6, 8ralxfr2d 4566 1  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. x  e.  ran  F
ph 
<-> 
A. y  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   ran crn 4706    Fn wfn 5266   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  ralrnmpt  5685  cbvfo  5815  isoselem  5854  indexfi  7179  ordtypelem9  7257  ordtypelem10  7258  wemapwe  7416  numacn  7692  acndom  7694  rpnnen1lem3  10360  fsequb2  11054  limsuple  11968  limsupval2  11970  climsup  12159  ruclem11  12534  ruclem12  12535  prmreclem6  12984  imasaddfnlem  13446  imasvscafn  13455  cycsubgcl  14659  ghmrn  14712  ghmnsgima  14722  pgpssslw  14941  gexex  15161  dprdfcntz  15266  znf1o  16521  ptcnplem  17331  kqt0lem  17443  isr0  17444  regr1lem2  17447  uzrest  17608  tmdgsum2  17795  imasf1oxmet  17955  imasf1omet  17956  bndth  18472  evth  18473  ovolficcss  18845  ovollb2lem  18863  ovolunlem1  18872  ovoliunlem1  18877  ovoliunlem2  18878  ovoliun2  18881  ovolscalem1  18888  ovolicc1  18891  voliunlem2  18924  voliunlem3  18925  ioombl1lem4  18934  uniioovol  18950  uniioombllem2  18954  uniioombllem3  18956  uniioombllem6  18959  volsup2  18976  vitalilem3  18981  mbfsup  19035  mbfinf  19036  mbflimsup  19037  itg1ge0  19057  itg1mulc  19075  itg1climres  19085  mbfi1fseqlem4  19089  itg2seq  19113  itg2monolem1  19121  itg2mono  19124  itg2i1fseq2  19127  itg2gt0  19131  itg2cnlem1  19132  itg2cn  19134  limciun  19260  plycpn  19685  hmopidmchi  22747  hmopidmpji  22748  rge0scvg  23388  ismtyhmeolem  26631  nacsfix  26890  fnwe2lem2  27251  frlmlbs  27352  lindfrn  27394  climinf  27835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279
  Copyright terms: Public domain W3C validator