MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralrnmpt2 Unicode version

Theorem ralrnmpt2 6045
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngop.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
ralrnmpt2.2  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ralrnmpt2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. z  e.  ran  F ph  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ps ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    z, B    z, C    z, F    ps, z    x, y, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    ps( x, y)    A( x)    B( x, y)    C( x, y)    F( x, y)    V( x, y, z)

Proof of Theorem ralrnmpt2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngop.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21rnmpt2 6041 . . . 4  |-  ran  F  =  { w  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C }
32raleqi 2816 . . 3  |-  ( A. z  e.  ran  F ph  <->  A. z  e.  { w  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C } ph )
4 eqeq1 2364 . . . . 5  |-  ( w  =  z  ->  (
w  =  C  <->  z  =  C ) )
542rexbidv 2662 . . . 4  |-  ( w  =  z  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C ) )
65ralab 3002 . . 3  |-  ( A. z  e.  { w  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C } ph 
<-> 
A. z ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )
)
7 ralcom4 2882 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. z A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
8 r19.23v 2735 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
98albii 1566 . . . 4  |-  ( A. z A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. z ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )
)
107, 9bitr2i 241 . . 3  |-  ( A. z ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. x  e.  A  A. z
( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
113, 6, 103bitri 262 . 2  |-  ( A. z  e.  ran  F ph  <->  A. x  e.  A  A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
12 ralcom4 2882 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  A. z A. y  e.  B  ( z  =  C  ->  ph ) )
13 r19.23v 2735 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  (
z  =  C  ->  ph )  <->  ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
1413albii 1566 . . . . . 6  |-  ( A. z A. y  e.  B  ( z  =  C  ->  ph )  <->  A. z
( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
1512, 14bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  A. z
( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
16 nfv 1619 . . . . . . . 8  |-  F/ z ps
17 ralrnmpt2.2 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1816, 17ceqsalg 2888 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  V  ->  ( A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  ps )
)
1918ralimi 2694 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. y  e.  B  ( A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  ps )
)
20 ralbi 2755 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  ( A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  ps )  ->  ( A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  A. y  e.  B  ps ) )
2119, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  A. y  e.  B  ps )
)
2215, 21syl5bbr 250 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. y  e.  B  ps )
)
2322ralimi 2694 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. x  e.  A  ( A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. y  e.  B  ps )
)
24 ralbi 2755 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. y  e.  B  ps )  ->  ( A. x  e.  A  A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ps ) )
2523, 24syl 15 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ps )
)
2611, 25syl5bb 248 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. z  e.  ran  F ph  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1540    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344   A.wral 2619   E.wrex 2620   ran crn 4772    e. cmpt2 5947
This theorem is referenced by:  rexrnmpt2  6046  efgval2  15132  txcnp  17420  txcnmpt  17424  txflf  17803
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pr 4295
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-br 4105  df-opab 4159  df-cnv 4779  df-dm 4781  df-rn 4782  df-oprab 5949  df-mpt2 5950
  Copyright terms: Public domain W3C validator