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Theorem ralunb 3356
Description: Restricted quantification over a union. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
ralunb  |-  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. x  e.  B  ph ) )

Proof of Theorem ralunb
StepHypRef Expression
1 elun 3316 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
21imbi1i 315 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  ->  ph )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  ph )
)
3 jaob 758 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  ->  ph )  <->  ( (
x  e.  A  ->  ph )  /\  (
x  e.  B  ->  ph ) ) )
42, 3bitri 240 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  ->  ph )  <->  ( ( x  e.  A  ->  ph )  /\  ( x  e.  B  ->  ph ) ) )
54albii 1553 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  ->  ph )  <->  A. x
( ( x  e.  A  ->  ph )  /\  ( x  e.  B  ->  ph ) ) )
6 19.26 1580 . . 3  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  ->  ph )  /\  ( x  e.  B  ->  ph ) )  <->  ( A. x ( x  e.  A  ->  ph )  /\  A. x ( x  e.  B  ->  ph ) ) )
75, 6bitri 240 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  ->  ph )  <->  ( A. x ( x  e.  A  ->  ph )  /\  A. x ( x  e.  B  ->  ph ) ) )
8 df-ral 2548 . 2  |-  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  A. x
( x  e.  ( A  u.  B )  ->  ph ) )
9 df-ral 2548 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  ph ) )
10 df-ral 2548 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  ph  <->  A. x
( x  e.  B  ->  ph ) )
119, 10anbi12i 678 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  B  ph )  <->  ( A. x
( x  e.  A  ->  ph )  /\  A. x ( x  e.  B  ->  ph ) ) )
127, 8, 113bitr4i 268 1  |-  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. x  e.  B  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1527    e. wcel 1684   A.wral 2543    u. cun 3150
This theorem is referenced by:  ralun  3357  ralprg  3682  raltpg  3684  ralunsn  3815  disjxun  4021  undifixp  6852  ixpfi2  7154  dffi3  7184  cantnfrescl  7378  fseqenlem1  7651  hashf1lem1  11393  rexfiuz  11831  prmind2  12769  prmreclem2  12964  lubun  14227  efgsp1  15046  unocv  16580  basdif0  16691  isclo  16824  ordtrest2  16934  ptbasfi  17276  ptcnplem  17315  ptrescn  17333  ordthmeolem  17492  prdsxmetlem  17932  prdsbl  18037  iblcnlem1  19142  ellimc2  19227  rlimcnp  20260  xrlimcnp  20263  ftalem3  20312  dchreq  20497  2sqlem10  20613  dchrisum0flb  20659  pntpbnd1  20735  subfacp1lem3  23713  subfacp1lem5  23715  erdszelem8  23729  hfext  24813  splint  25048  prdsbnd  26517  rrnequiv  26559  lubunNEW  29163  hdmap14lem13  32073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-v 2790  df-un 3157
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