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Theorem raluz2 10419
Description: Restricted universal quantification in a set of upper integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
raluz2  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) ph  <->  ( M  e.  ZZ  ->  A. n  e.  ZZ  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
Distinct variable group:    n, M
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem raluz2
StepHypRef Expression
1 eluz2 10387 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  M  <_  n ) )
2 3anass 939 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n ) ) )
31, 2bitri 240 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n ) ) )
43imbi1i 315 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ph )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph ) )
5 impexp 433 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( (
n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  ->  ph ) ) )
6 impexp 433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  ->  ph )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
76imbi2i 303 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  ->  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  ->  ph ) )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
85, 7bitri 240 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
9 bi2.04 350 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
108, 9bitri 240 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
114, 10bitri 240 . . 3  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ph )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
1211ralbii2 2656 . 2  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) ph  <->  A. n  e.  ZZ  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
13 r19.21v 2715 . 2  |-  ( A. n  e.  ZZ  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  A. n  e.  ZZ  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
1412, 13bitri 240 1  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) ph  <->  ( M  e.  ZZ  ->  A. n  e.  ZZ  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    e. wcel 1715   A.wral 2628   class class class wbr 4125   ` cfv 5358    <_ cle 9015   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-ov 5984  df-neg 9187  df-z 10176  df-uz 10382
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