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Theorem raluz2 10490
Description: Restricted universal quantification in a set of upper integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
raluz2  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) ph  <->  ( M  e.  ZZ  ->  A. n  e.  ZZ  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
Distinct variable group:    n, M
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem raluz2
StepHypRef Expression
1 eluz2 10458 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  M  <_  n ) )
2 3anass 940 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n ) ) )
31, 2bitri 241 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n ) ) )
43imbi1i 316 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ph )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph ) )
5 impexp 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( (
n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  ->  ph ) ) )
6 impexp 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  ->  ph )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
76imbi2i 304 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  ->  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  ->  ph ) )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
85, 7bitri 241 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
9 bi2.04 351 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
108, 9bitri 241 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
114, 10bitri 241 . . 3  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ph )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
1211ralbii2 2702 . 2  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) ph  <->  A. n  e.  ZZ  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
13 r19.21v 2761 . 2  |-  ( A. n  e.  ZZ  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  A. n  e.  ZZ  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
1412, 13bitri 241 1  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) ph  <->  ( M  e.  ZZ  ->  A. n  e.  ZZ  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   A.wral 2674   class class class wbr 4180   ` cfv 5421    <_ cle 9085   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-fv 5429  df-ov 6051  df-neg 9258  df-z 10247  df-uz 10453
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