MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralxp Unicode version

Theorem ralxp 4843
Description: Universal quantification restricted to a cross product is equivalent to a double restricted quantification. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxp.1  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
Assertion
Ref Expression
ralxp  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B ) ph  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, z    ph, y, z    ps, x    y, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)

Proof of Theorem ralxp
StepHypRef Expression
1 iunxpconst 4762 . . 3  |-  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  B
)  =  ( A  X.  B )
21raleqi 2753 . 2  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )
ph 
<-> 
A. x  e.  ( A  X.  B )
ph )
3 ralxp.1 . . 3  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
43raliunxp 4841 . 2  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )
ph 
<-> 
A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps )
52, 4bitr3i 242 1  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B ) ph  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632   A.wral 2556   {csn 3653   <.cop 3656   U_ciun 3921    X. cxp 4703
This theorem is referenced by:  ralxpf  4846  issref  5072  ffnov  5964  eqfnov  5966  funimassov  6013  f1stres  6157  f2ndres  6158  ecopover  6778  xpf1o  7039  xpwdomg  7315  rankxplim  7565  imasaddfnlem  13446  imasvscafn  13455  comfeq  13625  isssc  13713  isfuncd  13755  cofucl  13778  funcres2b  13787  evlfcl  14012  uncfcurf  14029  yonedalem3  14070  yonedainv  14071  efgval2  15049  txbas  17278  hausdiag  17355  tx1stc  17360  txkgen  17362  xkococn  17370  cnmpt21  17381  xkoinjcn  17397  tmdcn2  17788  clssubg  17807  divstgplem  17819  txmetcnp  18109  txmetcn  18110  qtopbaslem  18283  bndth  18472  cxpcn3  20104  dvdsmulf1o  20450  fsumdvdsmul  20451  xrofsup  23270  txpcon  23778  cvmlift2lem1  23848  cvmlift2lem12  23860  f1opr  26494  ismtyhmeolem  26631  ffnaov  28167  dih1dimatlem  32141
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-iun 3923  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712
  Copyright terms: Public domain W3C validator