MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralxp Unicode version

Theorem ralxp 4827
Description: Universal quantification restricted to a cross product is equivalent to a double restricted quantification. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxp.1  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
Assertion
Ref Expression
ralxp  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B ) ph  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, z    ph, y, z    ps, x    y, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)

Proof of Theorem ralxp
StepHypRef Expression
1 iunxpconst 4746 . . 3  |-  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  B
)  =  ( A  X.  B )
21raleqi 2740 . 2  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )
ph 
<-> 
A. x  e.  ( A  X.  B )
ph )
3 ralxp.1 . . 3  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
43raliunxp 4825 . 2  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )
ph 
<-> 
A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps )
52, 4bitr3i 242 1  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B ) ph  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623   A.wral 2543   {csn 3640   <.cop 3643   U_ciun 3905    X. cxp 4687
This theorem is referenced by:  ralxpf  4830  issref  5056  ffnov  5948  eqfnov  5950  funimassov  5997  f1stres  6141  f2ndres  6142  ecopover  6762  xpf1o  7023  xpwdomg  7299  rankxplim  7549  imasaddfnlem  13430  imasvscafn  13439  comfeq  13609  isssc  13697  isfuncd  13739  cofucl  13762  funcres2b  13771  evlfcl  13996  uncfcurf  14013  yonedalem3  14054  yonedainv  14055  efgval2  15033  txbas  17262  hausdiag  17339  tx1stc  17344  txkgen  17346  xkococn  17354  cnmpt21  17365  xkoinjcn  17381  tmdcn2  17772  clssubg  17791  divstgplem  17803  txmetcnp  18093  txmetcn  18094  qtopbaslem  18267  bndth  18456  cxpcn3  20088  dvdsmulf1o  20434  fsumdvdsmul  20435  xrofsup  23255  txpcon  23763  cvmlift2lem1  23833  cvmlift2lem12  23845  f1opr  26391  ismtyhmeolem  26528  ffnaov  28059  dih1dimatlem  31519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-iun 3907  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696
  Copyright terms: Public domain W3C validator