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Theorem ralxpmap 26864
Description: Quantification over functions in terms of quantification over values and punctured functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxpmap.j  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ralxpmap  |-  ( J  e.  T  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  T ) ph  <->  A. y  e.  S  A. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ps ) )
Distinct variable groups:    ph, g, y    ps, f    f, J, g, y    S, f, g, y    T, f, g, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    ps( y, g)

Proof of Theorem ralxpmap
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . 3  |-  g  e. 
_V
2 snex 4232 . . 3  |-  { <. J ,  y >. }  e.  _V
31, 2unex 4534 . 2  |-  ( g  u.  { <. J , 
y >. } )  e. 
_V
4 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
f  e.  ( S  ^m  T ) )
5 elmapex 6807 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( S  ^m  T )  ->  ( S  e.  _V  /\  T  e.  _V ) )
65adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( S  e.  _V  /\  T  e.  _V )
)
7 elmapg 6801 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( S  ^m  T )  <-> 
f : T --> S ) )
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( f  e.  ( S  ^m  T )  <-> 
f : T --> S ) )
94, 8mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
f : T --> S )
10 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  ->  J  e.  T )
11 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( f : T --> S  /\  J  e.  T )  ->  ( f `  J
)  e.  S )
129, 10, 11syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( f `  J
)  e.  S )
13 difss 3316 . . . . . . 7  |-  ( T 
\  { J }
)  C_  T
14 fssres 5424 . . . . . . 7  |-  ( ( f : T --> S  /\  ( T  \  { J } )  C_  T
)  ->  ( f  |`  ( T  \  { J } ) ) : ( T  \  { J } ) --> S )
159, 13, 14sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( f  |`  ( T  \  { J }
) ) : ( T  \  { J } ) --> S )
165simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( S  ^m  T )  ->  S  e.  _V )
1716adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  ->  S  e.  _V )
186simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  ->  T  e.  _V )
19 difexg 4178 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  _V  ->  ( T  \  { J }
)  e.  _V )
2018, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( T  \  { J } )  e.  _V )
21 elmapg 6801 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  _V  /\  ( T  \  { J } )  e.  _V )  ->  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J }
) )  <->  ( f  |`  ( T  \  { J } ) ) : ( T  \  { J } ) --> S ) )
2217, 20, 21syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J }
) )  <->  ( f  |`  ( T  \  { J } ) ) : ( T  \  { J } ) --> S ) )
2315, 22mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( f  |`  ( T  \  { J }
) )  e.  ( S  ^m  ( T 
\  { J }
) ) )
24 ffn 5405 . . . . . . 7  |-  ( f : T --> S  -> 
f  Fn  T )
259, 24syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
f  Fn  T )
26 fnsnsplit 5733 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  T  /\  J  e.  T )  ->  f  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  u.  { <. J ,  ( f `  J ) >. } ) )
2725, 10, 26syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
f  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  u.  { <. J ,  ( f `  J ) >. } ) )
28 opeq2 3813 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( f `  J )  ->  <. J , 
y >.  =  <. J , 
( f `  J
) >. )
2928sneqd 3666 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( f `  J )  ->  { <. J ,  y >. }  =  { <. J ,  ( f `  J )
>. } )
3029uneq2d 3342 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( f `  J )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } )  =  ( g  u. 
{ <. J ,  ( f `  J )
>. } ) )
3130eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  J )  ->  (
f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } )  <->  f  =  ( g  u.  { <. J ,  ( f `
 J ) >. } ) ) )
32 uneq1 3335 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  -> 
( g  u.  { <. J ,  ( f `
 J ) >. } )  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J }
) )  u.  { <. J ,  ( f `
 J ) >. } ) )
3332eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  -> 
( f  =  ( g  u.  { <. J ,  ( f `  J ) >. } )  <-> 
f  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  u.  { <. J ,  ( f `  J ) >. } ) ) )
3431, 33rspc2ev 2905 . . . . 5  |-  ( ( ( f `  J
)  e.  S  /\  ( f  |`  ( T  \  { J }
) )  e.  ( S  ^m  ( T 
\  { J }
) )  /\  f  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  u. 
{ <. J ,  ( f `  J )
>. } ) )  ->  E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } ) )
3512, 23, 27, 34syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  ->  E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } ) )
3635ex 423 . . 3  |-  ( J  e.  T  ->  (
f  e.  ( S  ^m  T )  ->  E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } ) ) )
37 elmapi 6808 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) )  -> 
g : ( T 
\  { J }
) --> S )
3837ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  g : ( T  \  { J } ) --> S )
39 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
40 f1osng 5530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  T  /\  y  e.  _V )  ->  { <. J ,  y
>. } : { J }
-1-1-onto-> { y } )
41 f1of 5488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. J ,  y >. } : { J } -1-1-onto-> {
y }  ->  { <. J ,  y >. } : { J } --> { y } )
4240, 41syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  T  /\  y  e.  _V )  ->  { <. J ,  y
>. } : { J }
--> { y } )
4339, 42mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  T  ->  { <. J ,  y >. } : { J } --> { y } )
4443adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  { <. J ,  y >. } : { J } --> { y } )
45 incom 3374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  \  { J } )  i^i  { J } )  =  ( { J }  i^i  ( T  \  { J } ) )
46 disjdif 3539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { J }  i^i  ( T  \  { J }
) )  =  (/)
4745, 46eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  \  { J } )  i^i  { J } )  =  (/)
4847a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( T  \  { J } )  i^i  { J } )  =  (/) )
49 fun 5421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : ( T  \  { J } ) --> S  /\  {
<. J ,  y >. } : { J } --> { y } )  /\  ( ( T 
\  { J }
)  i^i  { J } )  =  (/) )  ->  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } ) : ( ( T  \  { J } )  u.  { J } ) --> ( S  u.  { y } ) )
5038, 44, 48, 49syl21anc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } ) : ( ( T 
\  { J }
)  u.  { J } ) --> ( S  u.  { y } ) )
51 uncom 3332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  \  { J } )  u.  { J } )  =  ( { J }  u.  ( T  \  { J } ) )
52 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  J  e.  T )
5352snssd 3776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  { J }  C_  T )
54 undif 3547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { J }  C_  T  <->  ( { J }  u.  ( T  \  { J } ) )  =  T )
5553, 54sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( { J }  u.  ( T  \  { J }
) )  =  T )
5651, 55syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( T  \  { J } )  u.  { J } )  =  T )
5756feq2d 5396 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( g  u.  { <. J ,  y >. } ) : ( ( T  \  { J } )  u.  { J } ) --> ( S  u.  { y } )  <->  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } ) : T --> ( S  u.  { y } ) ) )
5850, 57mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } ) : T --> ( S  u.  { y } ) )
59 ssid 3210 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  S
6059a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  S  C_  S )
61 snssi 3775 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  ->  { y }  C_  S )
6261ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  { y }  C_  S )
6360, 62unssd 3364 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( S  u.  { y } )  C_  S
)
64 fss 5413 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g  u.  { <. J ,  y >. } ) : T --> ( S  u.  { y } )  /\  ( S  u.  { y } )  C_  S
)  ->  ( g  u.  { <. J ,  y
>. } ) : T --> S )
6558, 63, 64syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } ) : T --> S )
66 elmapex 6807 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) )  -> 
( S  e.  _V  /\  ( T  \  { J } )  e.  _V ) )
6766ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( S  e.  _V  /\  ( T  \  { J }
)  e.  _V )
)
6867simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  S  e.  _V )
69 ssun1 3351 . . . . . . . 8  |-  T  C_  ( T  u.  { J } )
70 undif1 3542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  \  { J } )  u.  { J } )  =  ( T  u.  { J } )
7167simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( T  \  { J }
)  e.  _V )
72 snex 4232 . . . . . . . . . 10  |-  { J }  e.  _V
73 unexg 4537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  \  { J } )  e.  _V  /\ 
{ J }  e.  _V )  ->  ( ( T  \  { J } )  u.  { J } )  e.  _V )
7471, 72, 73sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( T  \  { J } )  u.  { J } )  e.  _V )
7570, 74syl5eqelr 2381 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( T  u.  { J } )  e.  _V )
76 ssexg 4176 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  C_  ( T  u.  { J } )  /\  ( T  u.  { J } )  e. 
_V )  ->  T  e.  _V )
7769, 75, 76sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  T  e.  _V )
78 elmapg 6801 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } )  e.  ( S  ^m  T )  <-> 
( g  u.  { <. J ,  y >. } ) : T --> S ) )
7968, 77, 78syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( g  u.  { <. J ,  y >. } )  e.  ( S  ^m  T )  <-> 
( g  u.  { <. J ,  y >. } ) : T --> S ) )
8065, 79mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } )  e.  ( S  ^m  T ) )
81 eleq1 2356 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } )  ->  (
f  e.  ( S  ^m  T )  <->  ( g  u.  { <. J ,  y
>. } )  e.  ( S  ^m  T ) ) )
8280, 81syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } )  -> 
f  e.  ( S  ^m  T ) ) )
8382rexlimdvva 2687 . . 3  |-  ( J  e.  T  ->  ( E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } )  -> 
f  e.  ( S  ^m  T ) ) )
8436, 83impbid 183 . 2  |-  ( J  e.  T  ->  (
f  e.  ( S  ^m  T )  <->  E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J }
) ) f  =  ( g  u.  { <. J ,  y >. } ) ) )
85 ralxpmap.j . . 3  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
8685adantl 452 . 2  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  =  ( g  u.  { <. J ,  y
>. } ) )  -> 
( ph  <->  ps ) )
873, 84, 86ralxpxfr2d 26863 1  |-  ( J  e.  T  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  T ) ph  <->  A. y  e.  S  A. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   <.cop 3656    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788
This theorem is referenced by:  islindf4  27411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790
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