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Theorem ralxpmap 26723
Description: Quantification over functions in terms of quantification over values and punctured functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxpmap.j  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ralxpmap  |-  ( J  e.  T  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  T ) ph  <->  A. y  e.  S  A. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ps ) )
Distinct variable groups:    ph, g, y    ps, f    f, J, g, y    S, f, g, y    T, f, g, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    ps( y, g)

Proof of Theorem ralxpmap
StepHypRef Expression
1 vex 2951 . . 3  |-  g  e. 
_V
2 snex 4397 . . 3  |-  { <. J ,  y >. }  e.  _V
31, 2unex 4699 . 2  |-  ( g  u.  { <. J , 
y >. } )  e. 
_V
4 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
f  e.  ( S  ^m  T ) )
5 elmapex 7029 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( S  ^m  T )  ->  ( S  e.  _V  /\  T  e.  _V ) )
65adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( S  e.  _V  /\  T  e.  _V )
)
7 elmapg 7023 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( S  ^m  T )  <-> 
f : T --> S ) )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( f  e.  ( S  ^m  T )  <-> 
f : T --> S ) )
94, 8mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
f : T --> S )
10 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  ->  J  e.  T )
119, 10ffvelrnd 5863 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( f `  J
)  e.  S )
12 difss 3466 . . . . . . 7  |-  ( T 
\  { J }
)  C_  T
13 fssres 5602 . . . . . . 7  |-  ( ( f : T --> S  /\  ( T  \  { J } )  C_  T
)  ->  ( f  |`  ( T  \  { J } ) ) : ( T  \  { J } ) --> S )
149, 12, 13sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( f  |`  ( T  \  { J }
) ) : ( T  \  { J } ) --> S )
155simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( S  ^m  T )  ->  S  e.  _V )
1615adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  ->  S  e.  _V )
176simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  ->  T  e.  _V )
18 difexg 4343 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  _V  ->  ( T  \  { J }
)  e.  _V )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( T  \  { J } )  e.  _V )
20 elmapg 7023 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  _V  /\  ( T  \  { J } )  e.  _V )  ->  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J }
) )  <->  ( f  |`  ( T  \  { J } ) ) : ( T  \  { J } ) --> S ) )
2116, 19, 20syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J }
) )  <->  ( f  |`  ( T  \  { J } ) ) : ( T  \  { J } ) --> S ) )
2214, 21mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( f  |`  ( T  \  { J }
) )  e.  ( S  ^m  ( T 
\  { J }
) ) )
23 ffn 5583 . . . . . . 7  |-  ( f : T --> S  -> 
f  Fn  T )
249, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
f  Fn  T )
25 fnsnsplit 5922 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  T  /\  J  e.  T )  ->  f  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  u.  { <. J ,  ( f `  J ) >. } ) )
2624, 10, 25syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
f  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  u.  { <. J ,  ( f `  J ) >. } ) )
27 opeq2 3977 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( f `  J )  ->  <. J , 
y >.  =  <. J , 
( f `  J
) >. )
2827sneqd 3819 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( f `  J )  ->  { <. J ,  y >. }  =  { <. J ,  ( f `  J )
>. } )
2928uneq2d 3493 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( f `  J )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } )  =  ( g  u. 
{ <. J ,  ( f `  J )
>. } ) )
3029eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  J )  ->  (
f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } )  <->  f  =  ( g  u.  { <. J ,  ( f `
 J ) >. } ) ) )
31 uneq1 3486 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  -> 
( g  u.  { <. J ,  ( f `
 J ) >. } )  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J }
) )  u.  { <. J ,  ( f `
 J ) >. } ) )
3231eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  -> 
( f  =  ( g  u.  { <. J ,  ( f `  J ) >. } )  <-> 
f  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  u.  { <. J ,  ( f `  J ) >. } ) ) )
3330, 32rspc2ev 3052 . . . . 5  |-  ( ( ( f `  J
)  e.  S  /\  ( f  |`  ( T  \  { J }
) )  e.  ( S  ^m  ( T 
\  { J }
) )  /\  f  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  u. 
{ <. J ,  ( f `  J )
>. } ) )  ->  E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } ) )
3411, 22, 26, 33syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  ->  E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } ) )
3534ex 424 . . 3  |-  ( J  e.  T  ->  (
f  e.  ( S  ^m  T )  ->  E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } ) ) )
36 elmapi 7030 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) )  -> 
g : ( T 
\  { J }
) --> S )
3736ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  g : ( T  \  { J } ) --> S )
38 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
39 f1osng 5708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  T  /\  y  e.  _V )  ->  { <. J ,  y
>. } : { J }
-1-1-onto-> { y } )
40 f1of 5666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. J ,  y >. } : { J } -1-1-onto-> {
y }  ->  { <. J ,  y >. } : { J } --> { y } )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  T  /\  y  e.  _V )  ->  { <. J ,  y
>. } : { J }
--> { y } )
4238, 41mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  T  ->  { <. J ,  y >. } : { J } --> { y } )
4342adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  { <. J ,  y >. } : { J } --> { y } )
44 incom 3525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  \  { J } )  i^i  { J } )  =  ( { J }  i^i  ( T  \  { J } ) )
45 disjdif 3692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { J }  i^i  ( T  \  { J }
) )  =  (/)
4644, 45eqtri 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  \  { J } )  i^i  { J } )  =  (/)
4746a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( T  \  { J } )  i^i  { J } )  =  (/) )
48 fun 5599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : ( T  \  { J } ) --> S  /\  {
<. J ,  y >. } : { J } --> { y } )  /\  ( ( T 
\  { J }
)  i^i  { J } )  =  (/) )  ->  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } ) : ( ( T  \  { J } )  u.  { J } ) --> ( S  u.  { y } ) )
4937, 43, 47, 48syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } ) : ( ( T 
\  { J }
)  u.  { J } ) --> ( S  u.  { y } ) )
50 uncom 3483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  \  { J } )  u.  { J } )  =  ( { J }  u.  ( T  \  { J } ) )
51 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  J  e.  T )
5251snssd 3935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  { J }  C_  T )
53 undif 3700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { J }  C_  T  <->  ( { J }  u.  ( T  \  { J } ) )  =  T )
5452, 53sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( { J }  u.  ( T  \  { J }
) )  =  T )
5550, 54syl5eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( T  \  { J } )  u.  { J } )  =  T )
5655feq2d 5573 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( g  u.  { <. J ,  y >. } ) : ( ( T  \  { J } )  u.  { J } ) --> ( S  u.  { y } )  <->  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } ) : T --> ( S  u.  { y } ) ) )
5749, 56mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } ) : T --> ( S  u.  { y } ) )
58 ssid 3359 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  S
5958a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  S  C_  S )
60 snssi 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  ->  { y }  C_  S )
6160ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  { y }  C_  S )
6259, 61unssd 3515 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( S  u.  { y } )  C_  S
)
63 fss 5591 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g  u.  { <. J ,  y >. } ) : T --> ( S  u.  { y } )  /\  ( S  u.  { y } )  C_  S
)  ->  ( g  u.  { <. J ,  y
>. } ) : T --> S )
6457, 62, 63syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } ) : T --> S )
65 elmapex 7029 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) )  -> 
( S  e.  _V  /\  ( T  \  { J } )  e.  _V ) )
6665ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( S  e.  _V  /\  ( T  \  { J }
)  e.  _V )
)
6766simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  S  e.  _V )
68 ssun1 3502 . . . . . . . 8  |-  T  C_  ( T  u.  { J } )
69 undif1 3695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  \  { J } )  u.  { J } )  =  ( T  u.  { J } )
7066simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( T  \  { J }
)  e.  _V )
71 snex 4397 . . . . . . . . . 10  |-  { J }  e.  _V
72 unexg 4702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  \  { J } )  e.  _V  /\ 
{ J }  e.  _V )  ->  ( ( T  \  { J } )  u.  { J } )  e.  _V )
7370, 71, 72sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( T  \  { J } )  u.  { J } )  e.  _V )
7469, 73syl5eqelr 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( T  u.  { J } )  e.  _V )
75 ssexg 4341 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  C_  ( T  u.  { J } )  /\  ( T  u.  { J } )  e. 
_V )  ->  T  e.  _V )
7668, 74, 75sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  T  e.  _V )
77 elmapg 7023 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } )  e.  ( S  ^m  T )  <-> 
( g  u.  { <. J ,  y >. } ) : T --> S ) )
7867, 76, 77syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( g  u.  { <. J ,  y >. } )  e.  ( S  ^m  T )  <-> 
( g  u.  { <. J ,  y >. } ) : T --> S ) )
7964, 78mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } )  e.  ( S  ^m  T ) )
80 eleq1 2495 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } )  ->  (
f  e.  ( S  ^m  T )  <->  ( g  u.  { <. J ,  y
>. } )  e.  ( S  ^m  T ) ) )
8179, 80syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } )  -> 
f  e.  ( S  ^m  T ) ) )
8281rexlimdvva 2829 . . 3  |-  ( J  e.  T  ->  ( E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } )  -> 
f  e.  ( S  ^m  T ) ) )
8335, 82impbid 184 . 2  |-  ( J  e.  T  ->  (
f  e.  ( S  ^m  T )  <->  E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J }
) ) f  =  ( g  u.  { <. J ,  y >. } ) ) )
84 ralxpmap.j . . 3  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
8584adantl 453 . 2  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  =  ( g  u.  { <. J ,  y
>. } ) )  -> 
( ph  <->  ps ) )
863, 83, 85ralxpxfr2d 26722 1  |-  ( J  e.  T  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  T ) ph  <->  A. y  e.  S  A. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   <.cop 3809    |` cres 4872    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010
This theorem is referenced by:  islindf4  27266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012
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