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Theorem ralxpxfr2d 26695
Description: Transfer a universal quantifier between one variable with pair-like semantics and two. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ralxpxfr2d.a  |-  A  e. 
_V
ralxpxfr2d.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  E. y  e.  C  E. z  e.  D  x  =  A ) )
ralxpxfr2d.c  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
Assertion
Ref Expression
ralxpxfr2d  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ps  <->  A. y  e.  C  A. z  e.  D  ch )
)
Distinct variable groups:    ph, x, z    ph, y, x    ps, y    ps, z    x, A    x, C    x, D    ch, x
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y, z)    A( y, z)    B( x, y, z)    C( y, z)    D( y, z)

Proof of Theorem ralxpxfr2d
StepHypRef Expression
1 df-ral 2702 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  ps  <->  A. x ( x  e.  B  ->  ps )
)
2 ralxpxfr2d.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  E. y  e.  C  E. z  e.  D  x  =  A ) )
32imbi1d 309 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  ->  ps )  <->  ( E. y  e.  C  E. z  e.  D  x  =  A  ->  ps ) ) )
43albidv 1635 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x ( x  e.  B  ->  ps )  <->  A. x ( E. y  e.  C  E. z  e.  D  x  =  A  ->  ps )
) )
51, 4syl5bb 249 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ps  <->  A. x
( E. y  e.  C  E. z  e.  D  x  =  A  ->  ps ) ) )
6 ralcom4 2966 . . . 4  |-  ( A. y  e.  C  A. x A. z  e.  D  ( x  =  A  ->  ps )  <->  A. x A. y  e.  C  A. z  e.  D  ( x  =  A  ->  ps ) )
7 ralcom4 2966 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  D  A. x ( x  =  A  ->  ps )  <->  A. x A. z  e.  D  ( x  =  A  ->  ps )
)
87ralbii 2721 . . . 4  |-  ( A. y  e.  C  A. z  e.  D  A. x ( x  =  A  ->  ps )  <->  A. y  e.  C  A. x A. z  e.  D  ( x  =  A  ->  ps ) )
9 r19.23v 2814 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  D  (
x  =  A  ->  ps )  <->  ( E. z  e.  D  x  =  A  ->  ps ) )
109ralbii 2721 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  C  A. z  e.  D  (
x  =  A  ->  ps )  <->  A. y  e.  C  ( E. z  e.  D  x  =  A  ->  ps ) )
11 r19.23v 2814 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  C  ( E. z  e.  D  x  =  A  ->  ps )  <->  ( E. y  e.  C  E. z  e.  D  x  =  A  ->  ps ) )
1210, 11bitr2i 242 . . . . 5  |-  ( ( E. y  e.  C  E. z  e.  D  x  =  A  ->  ps )  <->  A. y  e.  C  A. z  e.  D  ( x  =  A  ->  ps ) )
1312albii 1575 . . . 4  |-  ( A. x ( E. y  e.  C  E. z  e.  D  x  =  A  ->  ps )  <->  A. x A. y  e.  C  A. z  e.  D  ( x  =  A  ->  ps ) )
146, 8, 133bitr4ri 270 . . 3  |-  ( A. x ( E. y  e.  C  E. z  e.  D  x  =  A  ->  ps )  <->  A. y  e.  C  A. z  e.  D  A. x
( x  =  A  ->  ps ) )
155, 14syl6bb 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ps  <->  A. y  e.  C  A. z  e.  D  A. x
( x  =  A  ->  ps ) ) )
16 ralxpxfr2d.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
1716pm5.74da 669 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  =  A  ->  ps )  <->  ( x  =  A  ->  ch ) ) )
1817albidv 1635 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x ( x  =  A  ->  ps )  <->  A. x ( x  =  A  ->  ch ) ) )
19 ralxpxfr2d.a . . . . 5  |-  A  e. 
_V
20 biidd 229 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ch 
<->  ch ) )
2119, 20ceqsalv 2974 . . . 4  |-  ( A. x ( x  =  A  ->  ch )  <->  ch )
2218, 21syl6bb 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x ( x  =  A  ->  ps )  <->  ch ) )
23222ralbidv 2739 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  C  A. z  e.  D  A. x ( x  =  A  ->  ps )  <->  A. y  e.  C  A. z  e.  D  ch ) )
2415, 23bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ps  <->  A. y  e.  C  A. z  e.  D  ch )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948
This theorem is referenced by:  ralxpmap  26696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-rex 2703  df-v 2950
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