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Theorem ramcl2 13389
Description: The Ramsey number is either a nonnegative integer or plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramcl2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  { 
+oo } ) )

Proof of Theorem ramcl2
Dummy variables  f 
c  n  s  x  a  b  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =  {
n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
31, 2ramcl2lem 13382 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  if ( { n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =  (/) , 
+oo ,  sup ( { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
4 iftrue 3747 . . . 4  |-  ( { n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =  (/)  ->  if ( { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =  (/) , 
+oo ,  sup ( { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  +oo )
53, 4sylan9eq 2490 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =  (/) )  ->  ( M Ramsey  F
)  =  +oo )
6 ssun2 3513 . . . 4  |-  {  +oo } 
C_  ( NN0  u.  { 
+oo } )
7 pnfxr 10718 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
87elexi 2967 . . . . 5  |-  +oo  e.  _V
98snss 3928 . . . 4  |-  (  +oo  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )  <->  {  +oo }  C_  ( NN0  u.  {  +oo } ) )
106, 9mpbir 202 . . 3  |-  +oo  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )
115, 10syl6eqel 2526 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =  (/) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  ( NN0 
u.  {  +oo } ) )
12 ssun1 3512 . . 3  |-  NN0  C_  ( NN0  u.  {  +oo }
)
131, 2ramtcl2 13384 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =/=  (/) ) )
1413biimpar 473 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =/=  (/) )  -> 
( M Ramsey  F )  e.  NN0 )
1512, 14sseldi 3348 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =/=  (/) )  -> 
( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } ) )
1611, 15pm2.61dane 2684 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  { 
+oo } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   {csn 3816   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   "cima 4884   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086    ^m cmap 7021   supcsup 7448   RRcr 8994    +oocpnf 9122   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   NN0cn0 10226   #chash 11623   Ramsey cram 13372
This theorem is referenced by:  ramxrcl  13390  ramubcl  13391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-ram 13374
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