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Theorem ramcl2 13160
Description: The Ramsey number is either a nonnegative integer or plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramcl2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  { 
+oo } ) )

Proof of Theorem ramcl2
Dummy variables  f 
c  n  s  x  a  b  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 eqid 2358 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =  {
n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
31, 2ramcl2lem 13153 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  if ( { n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =  (/) , 
+oo ,  sup ( { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
4 iftrue 3647 . . . 4  |-  ( { n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =  (/)  ->  if ( { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =  (/) , 
+oo ,  sup ( { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  +oo )
53, 4sylan9eq 2410 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =  (/) )  ->  ( M Ramsey  F
)  =  +oo )
6 ssun2 3415 . . . 4  |-  {  +oo } 
C_  ( NN0  u.  { 
+oo } )
7 pnfxr 10547 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
87elexi 2873 . . . . 5  |-  +oo  e.  _V
98snss 3824 . . . 4  |-  (  +oo  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )  <->  {  +oo }  C_  ( NN0  u.  {  +oo } ) )
106, 9mpbir 200 . . 3  |-  +oo  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )
115, 10syl6eqel 2446 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =  (/) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  ( NN0 
u.  {  +oo } ) )
12 ssun1 3414 . . 3  |-  NN0  C_  ( NN0  u.  {  +oo }
)
131, 2ramtcl2 13155 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =/=  (/) ) )
1413biimpar 471 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =/=  (/) )  -> 
( M Ramsey  F )  e.  NN0 )
1512, 14sseldi 3254 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =/=  (/) )  -> 
( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } ) )
1611, 15pm2.61dane 2599 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  { 
+oo } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1540    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623   _Vcvv 2864    u. cun 3226    C_ wss 3228   (/)c0 3531   ifcif 3641   ~Pcpw 3701   {csn 3716   class class class wbr 4104   `'ccnv 4770   "cima 4774   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    e. cmpt2 5947    ^m cmap 6860   supcsup 7283   RRcr 8826    +oocpnf 8954   RR*cxr 8956    < clt 8957    <_ cle 8958   NN0cn0 10057   #chash 11430   Ramsey cram 13143
This theorem is referenced by:  ramxrcl  13161  ramubcl  13162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-ram 13145
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