Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramcl2lem Unicode version

Theorem ramcl2lem 13056
 Description: Lemma for extended real closure of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c
ramval.t
Assertion
Ref Expression
ramcl2lem Ramsey
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   (,,,,,,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ramcl2lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2292 . 2 Ramsey Ramsey
2 eqeq2 2292 . 2 Ramsey Ramsey
3 ramval.c . . . 4
4 ramval.t . . . 4
53, 4ramval 13055 . . 3 Ramsey
6 supeq1 7198 . . . 4
7 xrinfm0 10655 . . . 4
86, 7syl6eq 2331 . . 3
95, 8sylan9eq 2335 . 2 Ramsey
10 df-ne 2448 . . 3
115adantr 451 . . . 4 Ramsey
12 xrltso 10475 . . . . . . 7
13 cnvso 5214 . . . . . . 7
1412, 13mpbi 199 . . . . . 6
1514a1i 10 . . . . 5
16 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9
174, 16eqsstri 3208 . . . . . . . 8
18 nn0ssre 9969 . . . . . . . 8
1917, 18sstri 3188 . . . . . . 7
20 nn0uz 10262 . . . . . . . . . 10
2117, 20sseqtri 3210 . . . . . . . . 9
2221a1i 10 . . . . . . . 8
23 infmssuzcl 10301 . . . . . . . 8
2422, 23sylan 457 . . . . . . 7
2519, 24sseldi 3178 . . . . . 6
2625rexrd 8881 . . . . 5
27 simpr 447 . . . . . . . 8
28 infmssuzle 10300 . . . . . . . 8
2921, 27, 28sylancr 644 . . . . . . 7
3025adantr 451 . . . . . . . 8
3119a1i 10 . . . . . . . . 9
3231sselda 3180 . . . . . . . 8
3330, 32lenltd 8965 . . . . . . 7
3429, 33mpbid 201 . . . . . 6
35 ltso 8903 . . . . . . . . 9
36 cnvso 5214 . . . . . . . . 9
3735, 36mpbi 199 . . . . . . . 8
3837supex 7214 . . . . . . 7
39 vex 2791 . . . . . . 7
4038, 39brcnv 4864 . . . . . 6
4134, 40sylnibr 296 . . . . 5
42 breq2 4027 . . . . . . . 8
4342rspcev 2884 . . . . . . 7
4443adantrl 696 . . . . . 6
4524, 44sylan 457 . . . . 5
4615, 26, 41, 45eqsupd 7208 . . . 4
4711, 46eqtrd 2315 . . 3 Ramsey
4810, 47sylan2br 462 . 2 Ramsey
491, 2, 9, 48ifbothda 3595 1 Ramsey
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   w3a 934  wal 1527   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  crab 2547  cvv 2788   wss 3152  c0 3455  cif 3565  cpw 3625  csn 3640   class class class wbr 4023   wor 4313  ccnv 4688  cima 4692  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860   cmap 6772  csup 7193  cr 8736  cc0 8737   cpnf 8864  cxr 8866   clt 8867   cle 8868  cn0 9965  cuz 10230  chash 11337   Ramsey cram 13046 This theorem is referenced by:  ramtcl  13057  ramtcl2  13058  ramtub  13059  ramcl2  13063 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-ram 13048
 Copyright terms: Public domain W3C validator