Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rami Structured version   Unicode version

Theorem rami 13375
 Description: The defining property of a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c
rami.m
rami.r
rami.f
rami.x Ramsey
rami.s
rami.l Ramsey
rami.g
Assertion
Ref Expression
rami
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,,)

Proof of Theorem rami
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.g . . 3
2 rami.r . . . 4
3 ovex 6098 . . . 4
4 elmapg 7023 . . . 4
52, 3, 4sylancl 644 . . 3
61, 5mpbird 224 . 2
7 rami.s . . 3
8 rami.x . . . . 5 Ramsey
9 rami.m . . . . . 6
10 rami.f . . . . . 6
11 rami.c . . . . . . . 8
12 eqid 2435 . . . . . . . 8
1311, 12ramtcl2 13371 . . . . . . 7 Ramsey
1411, 12ramtcl 13370 . . . . . . 7 Ramsey
1513, 14bitr4d 248 . . . . . 6 Ramsey Ramsey
169, 2, 10, 15syl3anc 1184 . . . . 5 Ramsey Ramsey
178, 16mpbid 202 . . . 4 Ramsey
18 breq1 4207 . . . . . . . 8 Ramsey Ramsey
1918imbi1d 309 . . . . . . 7 Ramsey Ramsey
2019albidv 1635 . . . . . 6 Ramsey Ramsey
2120elrab 3084 . . . . 5 Ramsey Ramsey Ramsey
2221simprbi 451 . . . 4 Ramsey Ramsey
2317, 22syl 16 . . 3 Ramsey
24 rami.l . . 3 Ramsey
25 fveq2 5720 . . . . . 6
2625breq2d 4216 . . . . 5 Ramsey Ramsey
27 oveq1 6080 . . . . . . 7
2827oveq2d 6089 . . . . . 6
29 pweq 3794 . . . . . . . 8
3029rexeqdv 2903 . . . . . . 7
3130rexbidv 2718 . . . . . 6
3228, 31raleqbidv 2908 . . . . 5
3326, 32imbi12d 312 . . . 4 Ramsey Ramsey
3433spcgv 3028 . . 3 Ramsey Ramsey
357, 23, 24, 34syl3c 59 . 2
36 cnveq 5038 . . . . . . 7
3736imaeq1d 5194 . . . . . 6
3837sseq2d 3368 . . . . 5
3938anbi2d 685 . . . 4
40392rexbidv 2740 . . 3
4140rspcv 3040 . 2
426, 35, 41sylc 58 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  csn 3806   class class class wbr 4204  ccnv 4869  cima 4873  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075   cmap 7010   cle 9113  cn0 10213  chash 11610   Ramsey cram 13359 This theorem is referenced by:  ramlb  13379  ramub1lem2  13387 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-ram 13361
 Copyright terms: Public domain W3C validator