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Theorem rami 13078
Description: The defining property of a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
rami.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
rami.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
rami.f  |-  ( ph  ->  F : R --> NN0 )
rami.x  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 )
rami.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
rami.l  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  <_  ( # `  S
) )
rami.g  |-  ( ph  ->  G : ( S C M ) --> R )
Assertion
Ref Expression
rami  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
Distinct variable groups:    x, c, C    G, c, x    ph, c, x    S, c, x    F, c, x    a, b, c, i, x, M    R, c, x    V, c, x
Allowed substitution hints:    ph( i, a, b)    C( i, a, b)    R( i, a, b)    S( i, a, b)    F( i, a, b)    G( i, a, b)    V( i, a, b)    W( x, i, a, b, c)

Proof of Theorem rami
Dummy variables  f  n  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( S C M ) --> R )
2 rami.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
3 ovex 5899 . . . 4  |-  ( S C M )  e. 
_V
4 elmapg 6801 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( S C M )  e.  _V )  -> 
( G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) )  <-> 
G : ( S C M ) --> R ) )
52, 3, 4sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) )  <-> 
G : ( S C M ) --> R ) )
61, 5mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) )
7 rami.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
8 rami.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 )
9 rami.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
10 rami.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : R --> NN0 )
11 rami.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
12 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  =  { n  e. 
NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }
1311, 12ramtcl2 13074 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  =/=  (/) ) )
1411, 12ramtcl 13073 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  <->  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =/=  (/) ) )
1513, 14bitr4d 247 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  ( M Ramsey  F )  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } ) )
169, 2, 10, 15syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  ( M Ramsey  F )  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } ) )
178, 16mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  e.  { n  e. 
NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } )
18 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( M Ramsey  F
)  ->  ( n  <_  ( # `  s
)  <->  ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  s
) ) )
1918imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( M Ramsey  F
)  ->  ( (
n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )  <->  ( ( M Ramsey  F )  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) ) )
2019albidv 1615 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( M Ramsey  F
)  ->  ( A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )  <->  A. s ( ( M Ramsey  F )  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
2120elrab 2936 . . . . 5  |-  ( ( M Ramsey  F )  e. 
{ n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  <->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  /\ 
A. s ( ( M Ramsey  F )  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
2221simprbi 450 . . . 4  |-  ( ( M Ramsey  F )  e. 
{ n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  ->  A. s
( ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
2317, 22syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. s ( ( M Ramsey  F )  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
24 rami.l . . 3  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  <_  ( # `  S
) )
25 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  S
) )
2625breq2d 4051 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( M Ramsey  F )  <_  ( # `  s
)  <->  ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  S
) ) )
27 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s C M )  =  ( S C M ) )
2827oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( R  ^m  ( s C M ) )  =  ( R  ^m  ( S C M ) ) )
29 pweq 3641 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ~P s  =  ~P S
)
3029rexeqdv 2756 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <->  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3130rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3228, 31raleqbidv 2761 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3326, 32imbi12d 311 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )  <->  ( ( M Ramsey  F )  <_  ( # `
 S )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) ) )
3433spcgv 2881 . . 3  |-  ( S  e.  W  ->  ( A. s ( ( M Ramsey  F )  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) )  -> 
( ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  S
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
357, 23, 24, 34syl3c 57 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
36 cnveq 4871 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  `' f  =  `' G
)
3736imaeq1d 5027 . . . . . 6  |-  ( f  =  G  ->  ( `' f " {
c } )  =  ( `' G " { c } ) )
3837sseq2d 3219 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  (
( x C M )  C_  ( `' f " { c } )  <->  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
3938anbi2d 684 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  (
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) )  <->  ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) ) )
40392rexbidv 2599 . . 3  |-  ( f  =  G  ->  ( E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) ) )
4140rspcv 2893 . 2  |-  ( G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) ) )
426, 35, 41sylc 56 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    ^m cmap 6788    <_ cle 8884   NN0cn0 9981   #chash 11353   Ramsey cram 13062
This theorem is referenced by:  ramlb  13082  ramub1lem2  13090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-ram 13064
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