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Theorem rami 13303
Description: The defining property of a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
rami.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
rami.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
rami.f  |-  ( ph  ->  F : R --> NN0 )
rami.x  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 )
rami.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
rami.l  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  <_  ( # `  S
) )
rami.g  |-  ( ph  ->  G : ( S C M ) --> R )
Assertion
Ref Expression
rami  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
Distinct variable groups:    x, c, C    G, c, x    ph, c, x    S, c, x    F, c, x    a, b, c, i, x, M    R, c, x    V, c, x
Allowed substitution hints:    ph( i, a, b)    C( i, a, b)    R( i, a, b)    S( i, a, b)    F( i, a, b)    G( i, a, b)    V( i, a, b)    W( x, i, a, b, c)

Proof of Theorem rami
Dummy variables  f  n  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( S C M ) --> R )
2 rami.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
3 ovex 6038 . . . 4  |-  ( S C M )  e. 
_V
4 elmapg 6960 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( S C M )  e.  _V )  -> 
( G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) )  <-> 
G : ( S C M ) --> R ) )
52, 3, 4sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) )  <-> 
G : ( S C M ) --> R ) )
61, 5mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) )
7 rami.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
8 rami.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 )
9 rami.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
10 rami.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : R --> NN0 )
11 rami.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
12 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  =  { n  e. 
NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }
1311, 12ramtcl2 13299 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  =/=  (/) ) )
1411, 12ramtcl 13298 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  <->  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =/=  (/) ) )
1513, 14bitr4d 248 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  ( M Ramsey  F )  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } ) )
169, 2, 10, 15syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  ( M Ramsey  F )  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } ) )
178, 16mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  e.  { n  e. 
NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } )
18 breq1 4149 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( M Ramsey  F
)  ->  ( n  <_  ( # `  s
)  <->  ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  s
) ) )
1918imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( M Ramsey  F
)  ->  ( (
n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )  <->  ( ( M Ramsey  F )  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) ) )
2019albidv 1632 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( M Ramsey  F
)  ->  ( A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )  <->  A. s ( ( M Ramsey  F )  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
2120elrab 3028 . . . . 5  |-  ( ( M Ramsey  F )  e. 
{ n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  <->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  /\ 
A. s ( ( M Ramsey  F )  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
2221simprbi 451 . . . 4  |-  ( ( M Ramsey  F )  e. 
{ n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  ->  A. s
( ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
2317, 22syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A. s ( ( M Ramsey  F )  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
24 rami.l . . 3  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  <_  ( # `  S
) )
25 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  S
) )
2625breq2d 4158 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( M Ramsey  F )  <_  ( # `  s
)  <->  ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  S
) ) )
27 oveq1 6020 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s C M )  =  ( S C M ) )
2827oveq2d 6029 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( R  ^m  ( s C M ) )  =  ( R  ^m  ( S C M ) ) )
29 pweq 3738 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ~P s  =  ~P S
)
3029rexeqdv 2847 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <->  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3130rexbidv 2663 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3228, 31raleqbidv 2852 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3326, 32imbi12d 312 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )  <->  ( ( M Ramsey  F )  <_  ( # `
 S )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) ) )
3433spcgv 2972 . . 3  |-  ( S  e.  W  ->  ( A. s ( ( M Ramsey  F )  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) )  -> 
( ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  S
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
357, 23, 24, 34syl3c 59 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
36 cnveq 4979 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  `' f  =  `' G
)
3736imaeq1d 5135 . . . . . 6  |-  ( f  =  G  ->  ( `' f " {
c } )  =  ( `' G " { c } ) )
3837sseq2d 3312 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  (
( x C M )  C_  ( `' f " { c } )  <->  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
3938anbi2d 685 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  (
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) )  <->  ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) ) )
40392rexbidv 2685 . . 3  |-  ( f  =  G  ->  ( E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) ) )
4140rspcv 2984 . 2  |-  ( G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) ) )
426, 35, 41sylc 58 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   (/)c0 3564   ~Pcpw 3735   {csn 3750   class class class wbr 4146   `'ccnv 4810   "cima 4814   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    e. cmpt2 6015    ^m cmap 6947    <_ cle 9047   NN0cn0 10146   #chash 11538   Ramsey cram 13287
This theorem is referenced by:  ramlb  13307  ramub1lem2  13315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-ram 13289
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