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Theorem rami 13062
Description: The defining property of a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
rami.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
rami.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
rami.f  |-  ( ph  ->  F : R --> NN0 )
rami.x  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 )
rami.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
rami.l  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  <_  ( # `  S
) )
rami.g  |-  ( ph  ->  G : ( S C M ) --> R )
Assertion
Ref Expression
rami  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
Distinct variable groups:    x, c, C    G, c, x    ph, c, x    S, c, x    F, c, x    a, b, c, i, x, M    R, c, x    V, c, x
Allowed substitution hints:    ph( i, a, b)    C( i, a, b)    R( i, a, b)    S( i, a, b)    F( i, a, b)    G( i, a, b)    V( i, a, b)    W( x, i, a, b, c)

Proof of Theorem rami
Dummy variables  f  n  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( S C M ) --> R )
2 rami.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
3 ovex 5883 . . . 4  |-  ( S C M )  e. 
_V
4 elmapg 6785 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( S C M )  e.  _V )  -> 
( G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) )  <-> 
G : ( S C M ) --> R ) )
52, 3, 4sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) )  <-> 
G : ( S C M ) --> R ) )
61, 5mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) )
7 rami.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
8 rami.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 )
9 rami.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
10 rami.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : R --> NN0 )
11 rami.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
12 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  =  { n  e. 
NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }
1311, 12ramtcl2 13058 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  =/=  (/) ) )
1411, 12ramtcl 13057 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  <->  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =/=  (/) ) )
1513, 14bitr4d 247 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  ( M Ramsey  F )  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } ) )
169, 2, 10, 15syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  ( M Ramsey  F )  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } ) )
178, 16mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  e.  { n  e. 
NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } )
18 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( M Ramsey  F
)  ->  ( n  <_  ( # `  s
)  <->  ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  s
) ) )
1918imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( M Ramsey  F
)  ->  ( (
n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )  <->  ( ( M Ramsey  F )  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) ) )
2019albidv 1611 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( M Ramsey  F
)  ->  ( A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )  <->  A. s ( ( M Ramsey  F )  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
2120elrab 2923 . . . . 5  |-  ( ( M Ramsey  F )  e. 
{ n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  <->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  /\ 
A. s ( ( M Ramsey  F )  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
2221simprbi 450 . . . 4  |-  ( ( M Ramsey  F )  e. 
{ n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  ->  A. s
( ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
2317, 22syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. s ( ( M Ramsey  F )  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
24 rami.l . . 3  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  <_  ( # `  S
) )
25 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  S
) )
2625breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( M Ramsey  F )  <_  ( # `  s
)  <->  ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  S
) ) )
27 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s C M )  =  ( S C M ) )
2827oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( R  ^m  ( s C M ) )  =  ( R  ^m  ( S C M ) ) )
29 pweq 3628 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ~P s  =  ~P S
)
3029rexeqdv 2743 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <->  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3130rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3228, 31raleqbidv 2748 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3326, 32imbi12d 311 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )  <->  ( ( M Ramsey  F )  <_  ( # `
 S )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) ) )
3433spcgv 2868 . . 3  |-  ( S  e.  W  ->  ( A. s ( ( M Ramsey  F )  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) )  -> 
( ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  S
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
357, 23, 24, 34syl3c 57 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
36 cnveq 4855 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  `' f  =  `' G
)
3736imaeq1d 5011 . . . . . 6  |-  ( f  =  G  ->  ( `' f " {
c } )  =  ( `' G " { c } ) )
3837sseq2d 3206 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  (
( x C M )  C_  ( `' f " { c } )  <->  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
3938anbi2d 684 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  (
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) )  <->  ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) ) )
40392rexbidv 2586 . . 3  |-  ( f  =  G  ->  ( E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) ) )
4140rspcv 2880 . 2  |-  ( G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) ) )
426, 35, 41sylc 56 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    ^m cmap 6772    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   #chash 11337   Ramsey cram 13046
This theorem is referenced by:  ramlb  13066  ramub1lem2  13074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-ram 13048
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