MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtcl2 Unicode version

Theorem ramtcl2 13058
Description: The Ramsey number is an integer iff there is a number with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramval.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
ramtcl2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  T  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    f, c, x, C    n, c, s, F, f, x    a,
b, c, f, i, n, s, x, M    R, c, f, n, s, x    V, c, f, n, s, x
Allowed substitution hints:    C( i, n, s, a, b)    R( i, a, b)    T( x, f, i, n, s, a, b, c)    F( i, a, b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem ramtcl2
StepHypRef Expression
1 ramval.c . . . . 5  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 ramval.t . . . . 5  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
31, 2ramcl2lem 13056 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  if ( T  =  (/) ,  +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
43eleq1d 2349 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  if ( T  =  (/) ,  +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  NN0 )
)
5 pnfnre 8874 . . . . . 6  |-  +oo  e/  RR
6 df-nel 2449 . . . . . 6  |-  (  +oo  e/  RR  <->  -.  +oo  e.  RR )
75, 6mpbi 199 . . . . 5  |-  -.  +oo  e.  RR
8 iftrue 3571 . . . . . . 7  |-  ( T  =  (/)  ->  if ( T  =  (/) ,  +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  =  +oo )
98eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( T  =  (/)  ->  ( if ( T  =  (/) , 
+oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e. 
NN0 
<-> 
+oo  e.  NN0 ) )
10 nn0re 9974 . . . . . 6  |-  (  +oo  e.  NN0  ->  +oo  e.  RR )
119, 10syl6bi 219 . . . . 5  |-  ( T  =  (/)  ->  ( if ( T  =  (/) , 
+oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e. 
NN0  ->  +oo  e.  RR ) )
127, 11mtoi 169 . . . 4  |-  ( T  =  (/)  ->  -.  if ( T  =  (/) ,  +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  NN0 )
1312necon2ai 2491 . . 3  |-  ( if ( T  =  (/) , 
+oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e. 
NN0  ->  T  =/=  (/) )
144, 13syl6bi 219 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  ->  T  =/=  (/) ) )
151, 2ramtcl 13057 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  T  <->  T  =/=  (/) ) )
16 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } 
C_  NN0
172, 16eqsstri 3208 . . . 4  |-  T  C_  NN0
1817sseli 3176 . . 3  |-  ( ( M Ramsey  F )  e.  T  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 )
1915, 18syl6bir 220 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( T  =/=  (/)  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 ) )
2014, 19impbid 183 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  T  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    e/ wnel 2447   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    ^m cmap 6772   supcsup 7193   RRcr 8736    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   #chash 11337   Ramsey cram 13046
This theorem is referenced by:  rami  13062  ramcl2  13063  ramsey  13077
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-ram 13048
  Copyright terms: Public domain W3C validator