MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtlecl Structured version   Unicode version

Theorem ramtlecl 13373
Description: The set  T of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramtlecl.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) }
Assertion
Ref Expression
ramtlecl  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  T )
Distinct variable groups:    n, s, M    ph, n    T, n, s
Allowed substitution hint:    ph( s)

Proof of Theorem ramtlecl
StepHypRef Expression
1 breq1 4218 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
n  <_  ( # `  s
)  <->  M  <_  ( # `  s ) ) )
21imbi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph )  <->  ( M  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) ) )
32albidv 1636 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  ( A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph )  <->  A. s
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) ) )
4 ramtlecl.t . . . . . 6  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) }
53, 4elrab2 3096 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  NN0  /\  A. s
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) ) )
65simplbi 448 . . . 4  |-  ( M  e.  T  ->  M  e.  NN0 )
7 eluznn0 10551 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  n  e.  NN0 )
87ex 425 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  NN0 ) )
98ssrdv 3356 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  NN0 )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  NN0 )
115simprbi 452 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  ->  A. s
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) )
12 eluzle 10503 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  n )
1312adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  M  <_  n )
14 nn0ssre 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  RR
15 ressxr 9134 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR*
1614, 15sstri 3359 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  C_  RR*
176adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  M  e.  NN0 )
1816, 17sseldi 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  M  e.  RR* )
196, 7sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  n  e.  NN0 )
2016, 19sseldi 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  n  e.  RR* )
21 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  s  e. 
_V
22 hashxrcl 11645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  _V  ->  ( # `
 s )  e. 
RR* )
2321, 22mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( # `  s )  e.  RR* )
24 xrletr 10753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  n  e.  RR*  /\  ( # `  s )  e.  RR* )  ->  ( ( M  <_  n  /\  n  <_  ( # `  s
) )  ->  M  <_  ( # `  s
) ) )
2518, 20, 23, 24syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( M  <_  n  /\  n  <_  ( # `
 s ) )  ->  M  <_  ( # `
 s ) ) )
2613, 25mpand 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( n  <_  ( # `
 s )  ->  M  <_  ( # `  s
) ) )
2726imim1d 72 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( M  <_ 
( # `  s )  ->  ph )  ->  (
n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) ) )
2827ralrimdva 2798 . . . . . 6  |-  ( M  e.  T  ->  (
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) ) )
2928alimdv 1632 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  ->  ( A. s ( M  <_ 
( # `  s )  ->  ph )  ->  A. s A. n  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) ) )
3011, 29mpd 15 . . . 4  |-  ( M  e.  T  ->  A. s A. n  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) )
31 ralcom4 2976 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph )  <->  A. s A. n  e.  ( ZZ>= `  M )
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) )
3230, 31sylibr 205 . . 3  |-  ( M  e.  T  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) )
33 ssrab 3423 . . 3  |-  ( (
ZZ>= `  M )  C_  { n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) }  <->  ( ( ZZ>=
`  M )  C_  NN0 
/\  A. n  e.  (
ZZ>= `  M ) A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) ) )
3410, 32, 33sylanbrc 647 . 2  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  { n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) } )
3534, 4syl6sseqr 3397 1  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   ` cfv 5457   RRcr 8994   RR*cxr 9124    <_ cle 9126   NN0cn0 10226   ZZ>=cuz 10493   #chash 11623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-hash 11624
  Copyright terms: Public domain W3C validator