MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtlecl Unicode version

Theorem ramtlecl 13323
Description: The set  T of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramtlecl.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) }
Assertion
Ref Expression
ramtlecl  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  T )
Distinct variable groups:    n, s, M    ph, n    T, n, s
Allowed substitution hint:    ph( s)

Proof of Theorem ramtlecl
StepHypRef Expression
1 breq1 4175 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
n  <_  ( # `  s
)  <->  M  <_  ( # `  s ) ) )
21imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph )  <->  ( M  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) ) )
32albidv 1632 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  ( A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph )  <->  A. s
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) ) )
4 ramtlecl.t . . . . . 6  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) }
53, 4elrab2 3054 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  NN0  /\  A. s
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) ) )
65simplbi 447 . . . 4  |-  ( M  e.  T  ->  M  e.  NN0 )
7 eluznn0 10502 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  n  e.  NN0 )
87ex 424 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  NN0 ) )
98ssrdv 3314 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  NN0 )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  NN0 )
115simprbi 451 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  ->  A. s
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) )
12 eluzle 10454 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  n )
1312adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  M  <_  n )
14 nn0ssre 10181 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  RR
15 ressxr 9085 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR*
1614, 15sstri 3317 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  C_  RR*
176adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  M  e.  NN0 )
1816, 17sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  M  e.  RR* )
196, 7sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  n  e.  NN0 )
2016, 19sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  n  e.  RR* )
21 vex 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  s  e. 
_V
22 hashxrcl 11595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  _V  ->  ( # `
 s )  e. 
RR* )
2321, 22mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( # `  s )  e.  RR* )
24 xrletr 10704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  n  e.  RR*  /\  ( # `  s )  e.  RR* )  ->  ( ( M  <_  n  /\  n  <_  ( # `  s
) )  ->  M  <_  ( # `  s
) ) )
2518, 20, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( M  <_  n  /\  n  <_  ( # `
 s ) )  ->  M  <_  ( # `
 s ) ) )
2613, 25mpand 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( n  <_  ( # `
 s )  ->  M  <_  ( # `  s
) ) )
2726imim1d 71 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( M  <_ 
( # `  s )  ->  ph )  ->  (
n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) ) )
2827ralrimdva 2756 . . . . . 6  |-  ( M  e.  T  ->  (
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) ) )
2928alimdv 1628 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  ->  ( A. s ( M  <_ 
( # `  s )  ->  ph )  ->  A. s A. n  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) ) )
3011, 29mpd 15 . . . 4  |-  ( M  e.  T  ->  A. s A. n  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) )
31 ralcom4 2934 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph )  <->  A. s A. n  e.  ( ZZ>= `  M )
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) )
3230, 31sylibr 204 . . 3  |-  ( M  e.  T  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) )
33 ssrab 3381 . . 3  |-  ( (
ZZ>= `  M )  C_  { n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) }  <->  ( ( ZZ>=
`  M )  C_  NN0 
/\  A. n  e.  (
ZZ>= `  M ) A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) ) )
3410, 32, 33sylanbrc 646 . 2  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  { n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) } )
3534, 4syl6sseqr 3355 1  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   RRcr 8945   RR*cxr 9075    <_ cle 9077   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   #chash 11573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-hash 11574
  Copyright terms: Public domain W3C validator