Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub1 Structured version   Unicode version

Theorem ramub1 13388
 Description: Inductive step for Ramsey's theorem, in the form of an explicit upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m
ramub1.r
ramub1.f
ramub1.g Ramsey
ramub1.1
ramub1.2 Ramsey
Assertion
Ref Expression
ramub1 Ramsey Ramsey
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem ramub1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . 2
2 ramub1.m . . 3
32nnnn0d 10266 . 2
4 ramub1.r . 2
5 ramub1.f . . 3
6 nnssnn0 10216 . . 3
7 fss 5591 . . 3
85, 6, 7sylancl 644 . 2
9 ramub1.2 . . 3 Ramsey
10 peano2nn0 10252 . . 3 Ramsey Ramsey
119, 10syl 16 . 2 Ramsey
12 simprl 733 . . . . . 6 Ramsey Ramsey
139adantr 452 . . . . . . 7 Ramsey Ramsey
14 nn0p1nn 10251 . . . . . . 7 Ramsey Ramsey
1513, 14syl 16 . . . . . 6 Ramsey Ramsey
1612, 15eqeltrd 2509 . . . . 5 Ramsey
1716nnnn0d 10266 . . . . . . 7 Ramsey
18 vex 2951 . . . . . . . 8
19 hashclb 11633 . . . . . . . 8
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . 7
2117, 20sylibr 204 . . . . . 6 Ramsey
22 hashnncl 11637 . . . . . 6
2321, 22syl 16 . . . . 5 Ramsey
2416, 23mpbid 202 . . . 4 Ramsey
25 n0 3629 . . . 4
2624, 25sylib 189 . . 3 Ramsey
272adantr 452 . . . . . 6 Ramsey
284adantr 452 . . . . . 6 Ramsey
295adantr 452 . . . . . 6 Ramsey
30 ramub1.g . . . . . 6 Ramsey
31 ramub1.1 . . . . . . 7
3231adantr 452 . . . . . 6 Ramsey
339adantr 452 . . . . . 6 Ramsey Ramsey
3421adantrr 698 . . . . . 6 Ramsey
35 simprll 739 . . . . . 6 Ramsey Ramsey
36 simprlr 740 . . . . . 6 Ramsey
37 simprr 734 . . . . . 6 Ramsey
38 uneq1 3486 . . . . . . . 8
3938fveq2d 5724 . . . . . . 7
4039cbvmptv 4292 . . . . . 6
4127, 28, 29, 30, 32, 33, 1, 34, 35, 36, 37, 40ramub1lem2 13387 . . . . 5 Ramsey
4241expr 599 . . . 4 Ramsey
4342exlimdv 1646 . . 3 Ramsey
4426, 43mpd 15 . 2 Ramsey
451, 3, 4, 8, 11, 44ramub2 13374 1 Ramsey Ramsey
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   wss 3312  c0 3620  cif 3731  cpw 3791  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258  ccnv 4869  cima 4873  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cfn 7101  c1 8983   caddc 8985   cle 9113   cmin 9283  cn 9992  cn0 10213  chash 11610   Ramsey cram 13359 This theorem is referenced by:  ramcl  13389 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611  df-ram 13361
 Copyright terms: Public domain W3C validator