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Theorem ramub1lem1 13073
Description: Lemma for ramub1 13075. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
ramub1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
ramub1.f  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
ramub1.g  |-  G  =  ( x  e.  R  |->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) ) )
ramub1.1  |-  ( ph  ->  G : R --> NN0 )
ramub1.2  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  NN0 )
ramub1.3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramub1.4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
ramub1.5  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
ramub1.6  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
ramub1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
ramub1.h  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
ramub1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  R )
ramub1.w  |-  ( ph  ->  W  C_  ( S  \  { X } ) )
ramub1.7  |-  ( ph  ->  ( G `  D
)  <_  ( # `  W
) )
ramub1.8  |-  ( ph  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { D }
) )
ramub1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  R )
ramub1.v  |-  ( ph  ->  V  C_  W )
ramub1.9  |-  ( ph  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `  E
) )  <_  ( # `
 V ) )
ramub1.s  |-  ( ph  ->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E }
) )
Assertion
Ref Expression
ramub1lem1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, D    y, u, z, F, x    a, b, i, u, x, y, z, M    G, a, i, u, x, y, z    u, R, x, y, z    W, a, i, u    ph, u, x, y, z    S, a, i, u, x, y, z    V, a, i, x, z    u, C, x, y, z    u, H, x, y, z    u, K, x, y, z    x, E, z    X, a, i, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( i, a, b)    C( i, a, b)    D( y, z, i, a, b)    R( i, a, b)    S( b)    E( y, u, i, a, b)    F( i, a, b)    G( b)    H( i, a, b)    K( i, a, b)    V( y, u, b)    W( x, y, z, b)    X( b)

Proof of Theorem ramub1lem1
StepHypRef Expression
1 ramub1.v . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  C_  W )
2 ramub1.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  C_  ( S  \  { X } ) )
31, 2sstrd 3189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  C_  ( S  \  { X } ) )
4 difss 3303 . . . . . . 7  |-  ( S 
\  { X }
)  C_  S
53, 4syl6ss 3191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  C_  S )
6 ramub1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
76snssd 3760 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  S )
85, 7unssd 3351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( V  u.  { X } )  C_  S
)
9 ramub1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
10 elpw2g 4174 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( V  u.  { X } )  e.  ~P S 
<->  ( V  u.  { X } )  C_  S
) )
119, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( V  u.  { X } )  e. 
~P S  <->  ( V  u.  { X } ) 
C_  S ) )
128, 11mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( V  u.  { X } )  e.  ~P S )
1312adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( V  u.  { X } )  e.  ~P S )
14 iftrue 3571 . . . . . . 7  |-  ( E  =  D  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  =  ( ( F `  D )  -  1 ) )
1514adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  =  ( ( F `  D )  -  1 ) )
16 ramub1.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `  E
) )  <_  ( # `
 V ) )
1716adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  <_  ( # `  V
) )
1815, 17eqbrtrrd 4045 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( F `  D
)  -  1 )  <_  ( # `  V
) )
19 ramub1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
20 ramub1.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  R )
21 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : R --> NN  /\  D  e.  R )  ->  ( F `  D
)  e.  NN )
2219, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  D
)  e.  NN )
2322adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  D )  e.  NN )
2423nnred 9761 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  D )  e.  RR )
25 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2625a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  1  e.  RR )
27 ssfi 7083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  V  C_  S )  ->  V  e.  Fin )
289, 5, 27syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  Fin )
29 hashcl 11350 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
30 nn0re 9974 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
3231adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
3324, 26, 32lesubaddd 9369 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( ( F `  D )  -  1 )  <_  ( # `  V
)  <->  ( F `  D )  <_  (
( # `  V )  +  1 ) ) )
3418, 33mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  D )  <_  ( ( # `  V
)  +  1 ) )
35 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( E  =  D  ->  ( F `  E )  =  ( F `  D ) )
36 snidg 3665 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  X  e.  { X } )
376, 36syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  { X } )
383sseld 3179 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  V  ->  X  e.  ( S 
\  { X }
) ) )
39 eldifn 3299 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( S  \  { X } )  ->  -.  X  e.  { X } )
4038, 39syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  V  ->  -.  X  e.  { X } ) )
4137, 40mt2d 109 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  V
)
42 hashunsng 11367 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  (
( V  e.  Fin  /\ 
-.  X  e.  V
)  ->  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  V
)  +  1 ) ) )
436, 42syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  V )  ->  ( # `
 ( V  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  V )  +  1 ) ) )
4428, 41, 43mp2and 660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  V
)  +  1 ) )
4535, 44breqan12rd 4039 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( F `  E
)  <_  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  <->  ( F `  D )  <_  (
( # `  V )  +  1 ) ) )
4634, 45mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  E )  <_  ( # `  ( V  u.  { X } ) ) )
47 snfi 6941 . . . . . . 7  |-  { X }  e.  Fin
48 unfi 7124 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  { X }  e.  Fin )  ->  ( V  u.  { X } )  e. 
Fin )
4928, 47, 48sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( V  u.  { X } )  e.  Fin )
50 ramub1.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
5150nnnn0d 10018 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
52 ramub1.3 . . . . . . 7  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
5352hashbcval 13049 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  u.  { X } )  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( V  u.  { X } ) C M )  =  {
x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  (
# `  x )  =  M } )
5449, 51, 53syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( V  u.  { X } ) C M )  =  {
x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  (
# `  x )  =  M } )
5554adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( V  u.  { X } ) C M )  =  { x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  ( # `  x
)  =  M }
)
56 simpl1l 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  ph )
5752hashbcval 13049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( V C M )  =  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  M } )
5828, 51, 57syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( V C M )  =  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  M } )
59 ramub1.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E }
) )
6058, 59eqsstr3d 3213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  M }  C_  ( `' K " { E } ) )
6156, 60syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  M }  C_  ( `' K " { E } ) )
62 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  x  e.  ~P V
)
63 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  -> 
( # `  x )  =  M )
64 rabid 2716 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  M }  <->  ( x  e.  ~P V  /\  ( # `
 x )  =  M ) )
6562, 63, 64sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  x  e.  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  M } )
6661, 65sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  x  e.  ( `' K " { E }
) )
67 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ~P ( V  u.  { X } ) )
68 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P ( V  u.  { X }
)  ->  x  C_  ( V  u.  { X } ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  C_  ( V  u.  { X } ) )
70 simpl1l 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ph )
7170, 8syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( V  u.  { X } ) 
C_  S )
7269, 71sstrd 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  C_  S
)
73 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
7473elpw 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P S  <->  x  C_  S
)
7572, 74sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ~P S )
76 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  x
)  =  M )
77 rabid 2716 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { x  e. 
~P S  |  (
# `  x )  =  M }  <->  ( x  e.  ~P S  /\  ( # `
 x )  =  M ) )
7875, 76, 77sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  { x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }
)
7952hashbcval 13049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
809, 51, 79syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
8170, 80syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( S C M )  =  {
x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }
)
8278, 81eleqtrrd 2360 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ( S C M ) )
832, 4syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  C_  S )
84 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  W  C_  S )  ->  W  e.  Fin )
859, 83, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
86 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
8750, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
8852hashbcval 13049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Fin  /\  ( M  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  =  { u  e.  ~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) } )
8985, 87, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  =  { u  e.  ~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) } )
90 ramub1.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { D }
) )
9189, 90eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { u  e.  ~P W  |  ( # `  u
)  =  ( M  -  1 ) } 
C_  ( `' H " { D } ) )
9270, 91syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  { u  e.  ~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) }  C_  ( `' H " { D } ) )
93 uncom 3319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  u.  { X }
)  =  ( { X }  u.  V
)
9469, 93syl6sseq 3224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  C_  ( { X }  u.  V
) )
95 ssundif 3537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  ( { X }  u.  V )  <->  ( x  \  { X } )  C_  V
)
9694, 95sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } ) 
C_  V )
9770, 1syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  V  C_  W
)
9896, 97sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } ) 
C_  W )
99 difexg 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  { X } )  e.  _V )
10073, 99ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
\  { X }
)  e.  _V
101100elpw 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  ~P W 
<->  ( x  \  { X } )  C_  W
)
10298, 101sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  ~P W )
10370, 9syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  S  e.  Fin )
104 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  x  C_  S )  ->  x  e.  Fin )
105103, 72, 104syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  Fin )
106 diffi 7089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
x  \  { X } )  e.  Fin )
107105, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  Fin )
108 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  e. 
NN0 )
109 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  ( x  \  { X } ) )  e.  NN0  ->  (
# `  ( x  \  { X } ) )  e.  CC )
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  e.  CC )
111 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
112 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  ( x  \  { X } ) ) )
113110, 111, 112sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( (
( # `  ( x 
\  { X }
) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  (
x  \  { X } ) ) )
114 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  ( x  \  { X } )  ->  -.  X  e.  { X } )
11570, 6, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  X  e.  { X } )
116114, 115nsyl3 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  -.  X  e.  ( x  \  { X } ) )
117 hashunsng 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ( x  \  { X } )  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  ( x  \  { X } ) )  -> 
( # `  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 ) ) )
11870, 6, 1173syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( (
( x  \  { X } )  e.  Fin  /\ 
-.  X  e.  ( x  \  { X } ) )  -> 
( # `  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 ) ) )
119107, 116, 118mp2and 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 ) )
120 undif1 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } )  =  ( x  u.  { X } )
121 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  -.  x  e.  ~P V )
122 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ~P ( V  u.  { X } )  \  ~P V )  <->  ( x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  -.  x  e.  ~P V ) )
12367, 121, 122sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ( ~P ( V  u.  { X } )  \  ~P V ) )
124 elpwunsn 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P ( V  u.  { X } )  \  ~P V )  ->  X  e.  x )
125123, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  X  e.  x )
126125snssd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  { X }  C_  x )
127 ssequn2 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { X }  C_  x  <->  ( x  u.  { X } )  =  x )
128126, 127sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  u.  { X } )  =  x )
129120, 128syl5req 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  =  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) )
130129fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) ) )
131130, 76eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  M )
132119, 131eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( ( # `
 ( x  \  { X } ) )  +  1 )  =  M )
133132oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( (
( # `  ( x 
\  { X }
) )  +  1 )  -  1 )  =  ( M  - 
1 ) )
134113, 133eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  =  ( M  -  1 ) )
135 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( # `  u )  =  ( # `  (
x  \  { X } ) ) )
136135eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( ( # `  u
)  =  ( M  -  1 )  <->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  =  ( M  -  1 ) ) )
137136elrab 2923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  {
u  e.  ~P W  |  ( # `  u
)  =  ( M  -  1 ) }  <-> 
( ( x  \  { X } )  e. 
~P W  /\  ( # `
 ( x  \  { X } ) )  =  ( M  - 
1 ) ) )
138102, 134, 137sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  { u  e. 
~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) } )
13992, 138sseldd 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  ( `' H " { D } ) )
140 ramub1.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
141140mptiniseg 5167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  R  ->  ( `' H " { D } )  =  {
u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  D }
)
14270, 20, 1413syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( `' H " { D }
)  =  { u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `  ( u  u.  { X }
) )  =  D } )
143139, 142eleqtrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  { u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `  ( u  u.  { X }
) )  =  D } )
144 uneq1 3322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( u  u.  { X } )  =  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) )
145144fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( K `  (
u  u.  { X } ) )  =  ( K `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) ) )
146145eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( ( K `  ( u  u.  { X } ) )  =  D  <->  ( K `  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) )  =  D ) )
147146elrab 2923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  {
u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  D }  <->  ( ( x  \  { X } )  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  /\  ( K `
 ( ( x 
\  { X }
)  u.  { X } ) )  =  D ) )
148147simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  {
u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  D }  ->  ( K `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  D )
149143, 148syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( K `  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) )  =  D )
150129fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( K `  x )  =  ( K `  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) ) )
151 simpl1r 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  E  =  D )
152149, 150, 1513eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( K `  x )  =  E )
153 ramub1.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
154 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( S C M ) --> R  ->  K  Fn  ( S C M ) )
155153, 154syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  Fn  ( S C M ) )
156 fniniseg 5646 . . . . . . . 8  |-  ( K  Fn  ( S C M )  ->  (
x  e.  ( `' K " { E } )  <->  ( x  e.  ( S C M )  /\  ( K `
 x )  =  E ) ) )
15770, 155, 1563syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  e.  ( `' K " { E } )  <->  ( x  e.  ( S C M )  /\  ( K `
 x )  =  E ) ) )
15882, 152, 157mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ( `' K " { E } ) )
15966, 158pm2.61dan 766 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `  x )  =  M )  ->  x  e.  ( `' K " { E }
) )
160159rabssdv 3253 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  { x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  ( # `  x
)  =  M }  C_  ( `' K " { E } ) )
16155, 160eqsstrd 3212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E }
) )
162 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( # `  z )  =  ( # `  ( V  u.  { X } ) ) )
163162breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( ( F `  E )  <_  ( # `
 z )  <->  ( F `  E )  <_  ( # `
 ( V  u.  { X } ) ) ) )
164 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( z C M )  =  ( ( V  u.  { X } ) C M ) )
165164sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( ( z C M )  C_  ( `' K " { E } )  <->  ( ( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E }
) ) )
166163, 165anbi12d 691 . . . 4  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) )  <->  ( ( F `  E )  <_  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  /\  ( ( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) ) )
167166rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( ( V  u.  { X } )  e.  ~P S  /\  ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  ( V  u.  { X }
) )  /\  (
( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E }
) ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
16813, 46, 161, 167syl12anc 1180 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  E )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
169 elpw2g 4174 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( V  e.  ~P S  <->  V 
C_  S ) )
1709, 169syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ~P S 
<->  V  C_  S )
)
1715, 170mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  ~P S
)
172171adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  V  e.  ~P S )
173 ifnefalse 3573 . . . . 5  |-  ( E  =/=  D  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  =  ( F `
 E ) )
174173adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  if ( E  =  D , 
( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `
 E ) )  =  ( F `  E ) )
17516adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  if ( E  =  D , 
( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `
 E ) )  <_  ( # `  V
) )
176174, 175eqbrtrrd 4045 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  ( F `  E )  <_  ( # `
 V ) )
17759adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E } ) )
178 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( z  =  V  ->  ( # `
 z )  =  ( # `  V
) )
179178breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( z  =  V  ->  (
( F `  E
)  <_  ( # `  z
)  <->  ( F `  E )  <_  ( # `
 V ) ) )
180 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( z  =  V  ->  (
z C M )  =  ( V C M ) )
181180sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( z  =  V  ->  (
( z C M )  C_  ( `' K " { E }
)  <->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
182179, 181anbi12d 691 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  (
( ( F `  E )  <_  ( # `
 z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E }
) )  <->  ( ( F `  E )  <_  ( # `  V
)  /\  ( V C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) ) )
183182rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( V  e.  ~P S  /\  ( ( F `  E )  <_  ( # `
 V )  /\  ( V C M ) 
C_  ( `' K " { E } ) ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  E )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
184172, 176, 177, 183syl12anc 1180 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  E )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
185168, 184pm2.61dane 2524 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   #chash 11337   Ramsey cram 13046
This theorem is referenced by:  ramub1lem2  13074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
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