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Theorem ramub1lem2 13074
Description: Lemma for ramub1 13075. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
ramub1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
ramub1.f  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
ramub1.g  |-  G  =  ( x  e.  R  |->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) ) )
ramub1.1  |-  ( ph  ->  G : R --> NN0 )
ramub1.2  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  NN0 )
ramub1.3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramub1.4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
ramub1.5  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
ramub1.6  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
ramub1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
ramub1.h  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
Assertion
Ref Expression
ramub1lem2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, c, y, z, F    a,
b, c, i, u, x, y, z, M    G, a, c, i, u, x, y, z    R, c, u, x, y, z    ph, c, u, x, y, z    S, a, c, i, u, x, y, z    C, c, u, x, y, z    H, c, u, x, y, z    K, c, u, x, y, z    X, a, c, i, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( i, a, b)    C( i, a, b)    R( i, a, b)    S( b)    F( i, a, b)    G( b)    H( i, a, b)    K( i, a, b)    X( b)

Proof of Theorem ramub1lem2
Dummy variables  d 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ramub1.3 . . 3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 ramub1.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 nnm1nn0 10005 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
5 ramub1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
6 ramub1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G : R --> NN0 )
7 ramub1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  NN0 )
8 ramub1.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
9 diffi 7089 . . . 4  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( S  \  { X }
)  e.  Fin )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  \  { X } )  e.  Fin )
117nn0red 10019 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  RR )
1211leidd 9339 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  <_  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )
)
13 undif1 3529 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  \  { X } )  u.  { X } )  =  ( S  u.  { X } )
14 ramub1.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
1514snssd 3760 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { X }  C_  S )
16 ssequn2 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( { X }  C_  S  <->  ( S  u.  { X } )  =  S )
1715, 16sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  u.  { X } )  =  S )
1813, 17syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  \  { X } )  u. 
{ X } )  =  S )
1918fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( S  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( # `  S
) )
20 eldifn 3299 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( S  \  { X } )  ->  -.  X  e.  { X } )
21 snidg 3665 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  S  ->  X  e.  { X } )
2214, 21syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  { X } )
2320, 22nsyl3 111 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( S  \  { X } ) )
24 hashunsng 11367 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ( S  \  { X } )  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( # `  ( ( S  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 ) ) )
2514, 24syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( S 
\  { X }
)  e.  Fin  /\  -.  X  e.  ( S  \  { X }
) )  ->  ( # `
 ( ( S 
\  { X }
)  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 ) ) )
2610, 23, 25mp2and 660 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( S  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 ) )
27 ramub1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
2819, 26, 273eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 )  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
29 hashcl 11350 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  e.  NN0 )
3010, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10020 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  e.  CC )
327nn0cnd 10020 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  CC )
33 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
3433a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3531, 32, 34addcan2d 9016 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  ( S  \  { X } ) )  +  1 )  =  ( ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  +  1 )  <->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  =  ( ( M  -  1 ) Ramsey  G ) ) )
3628, 35mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  =  ( ( M  -  1 ) Ramsey  G ) )
3712, 36breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  <_  ( # `  ( S  \  { X }
) ) )
38 ramub1.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
3938adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  K : ( S C M ) --> R )
401hashbcval 13049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  \  { X } )  e.  Fin  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  =  {
x  e.  ~P ( S  \  { X }
)  |  ( # `  x )  =  ( M  -  1 ) } )
4110, 4, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  =  {
x  e.  ~P ( S  \  { X }
)  |  ( # `  x )  =  ( M  -  1 ) } )
4241eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  <->  u  e.  { x  e.  ~P ( S  \  { X } )  |  ( # `  x
)  =  ( M  -  1 ) } ) )
43 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  u
) )
4443eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
( # `  x )  =  ( M  - 
1 )  <->  ( # `  u
)  =  ( M  -  1 ) ) )
4544elrab 2923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  { x  e. 
~P ( S  \  { X } )  |  ( # `  x
)  =  ( M  -  1 ) }  <-> 
( u  e.  ~P ( S  \  { X } )  /\  ( # `
 u )  =  ( M  -  1 ) ) )
4642, 45syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  <->  ( u  e. 
~P ( S  \  { X } )  /\  ( # `  u )  =  ( M  - 
1 ) ) ) )
4746simprbda 606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  e.  ~P ( S  \  { X }
) )
48 elpwi 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ~P ( S 
\  { X }
)  ->  u  C_  ( S  \  { X }
) )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  C_  ( S  \  { X } ) )
50 difss 3303 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
\  { X }
)  C_  S
5149, 50syl6ss 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  C_  S )
5215adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  { X }  C_  S
)
5351, 52unssd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  C_  S
)
54 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
55 snex 4216 . . . . . . . . . 10  |-  { X }  e.  _V
5654, 55unex 4518 . . . . . . . . 9  |-  ( u  u.  { X }
)  e.  _V
5756elpw 3631 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  u.  { X } )  e.  ~P S 
<->  ( u  u.  { X } )  C_  S
)
5853, 57sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  e.  ~P S )
5910adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( S  \  { X } )  e.  Fin )
60 ssfi 7083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  \  { X } )  e.  Fin  /\  u  C_  ( S  \  { X } ) )  ->  u  e.  Fin )
6159, 49, 60syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  e.  Fin )
6223adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  ( S  \  { X }
) )
6349sseld 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( X  e.  u  ->  X  e.  ( S 
\  { X }
) ) )
6462, 63mtod 168 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  u
)
6514adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  X  e.  S )
66 hashunsng 11367 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  S  ->  (
( u  e.  Fin  /\ 
-.  X  e.  u
)  ->  ( # `  (
u  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) )
6765, 66syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( ( u  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  u )  ->  ( # `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) )
6861, 64, 67mp2and 660 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { X }
) )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) )
6946simplbda 607 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( # `  u )  =  ( M  - 
1 ) )
7069oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  u
)  +  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
712nncnd 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
72 npcan 9060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
7371, 33, 72sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
7473adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
7568, 70, 743eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { X }
) )  =  M )
76 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ X } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( u  u.  { X } ) ) )
7776eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ X } )  ->  ( ( # `  x )  =  M  <-> 
( # `  ( u  u.  { X }
) )  =  M ) )
7877elrab 2923 . . . . . . 7  |-  ( ( u  u.  { X } )  e.  {
x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }  <->  ( ( u  u.  { X } )  e.  ~P S  /\  ( # `  (
u  u.  { X } ) )  =  M ) )
7958, 75, 78sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  e.  {
x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }
)
802nnnn0d 10018 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
811hashbcval 13049 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
828, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
8382adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
8479, 83eleqtrrd 2360 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  e.  ( S C M ) )
85 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( K : ( S C M ) --> R  /\  ( u  u. 
{ X } )  e.  ( S C M ) )  -> 
( K `  (
u  u.  { X } ) )  e.  R )
8639, 84, 85syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( K `  (
u  u.  { X } ) )  e.  R )
87 ramub1.h . . . 4  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
8886, 87fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) --> R )
891, 4, 5, 6, 7, 10, 37, 88rami 13062 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  R  E. w  e.  ~P  ( S  \  { X } ) ( ( G `  d )  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) )
9080adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
915adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  R  e.  Fin )
92 ramub1.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
9392adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  F : R
--> NN )
94 simprll 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  d  e.  R )
95 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : R --> NN  /\  d  e.  R )  ->  ( F `  d
)  e.  NN )
9693, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( F `  d )  e.  NN )
97 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  d )  e.  NN  ->  (
( F `  d
)  -  1 )  e.  NN0 )
9896, 97syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )  -  1 )  e. 
NN0 )
9998adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  ( ( F `  d )  -  1 )  e. 
NN0 )
100 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : R --> NN  /\  y  e.  R )  ->  ( F `  y
)  e.  NN )
10193, 100sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  ( F `  y )  e.  NN )
102101nnnn0d 10018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  ( F `  y )  e.  NN0 )
103 ifcl 3601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  d )  -  1 )  e.  NN0  /\  ( F `  y )  e.  NN0 )  ->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) )  e.  NN0 )
10499, 102, 103syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  if (
y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) )  e.  NN0 )
105 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) )  =  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) )
106104, 105fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) : R --> NN0 )
107 equequ2 1649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  d  ->  (
y  =  x  <->  y  =  d ) )
108 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  d  ->  ( F `  x )  =  ( F `  d ) )
109108oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  d  ->  (
( F `  x
)  -  1 )  =  ( ( F `
 d )  - 
1 ) )
110 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  d  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
111107, 109, 110ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  d  ->  if ( y  =  x ,  ( ( F `
 x )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) )  =  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) )
112111mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  d  ->  (
y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `
 x )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) )  =  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) )
113112oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  d  ->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) )  =  ( M Ramsey  (
y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) ) )
114 ramub1.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  R  |->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) ) )
115 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( M Ramsey 
( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) )  e.  _V
116113, 114, 115fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  R  ->  ( G `  d )  =  ( M Ramsey  (
y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) ) )
11794, 116syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  =  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d
)  -  1 ) ,  ( F `  y ) ) ) ) )
1186adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  G : R
--> NN0 )
119 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : R --> NN0  /\  d  e.  R )  ->  ( G `  d
)  e.  NN0 )
120118, 94, 119syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  e.  NN0 )
121117, 120eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) )  e. 
NN0 )
122 simprlr 739 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )
123 simprrl 740 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  <_  ( # `
 w ) )
124117, 123eqbrtrrd 4045 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) )  <_ 
( # `  w ) )
12538adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  K :
( S C M ) --> R )
1268adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  S  e.  Fin )
127 elpwi 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ~P ( S 
\  { X }
)  ->  w  C_  ( S  \  { X }
) )
128122, 127syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  w  C_  ( S  \  { X }
) )
129128, 50syl6ss 3191 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  w  C_  S
)
1301hashbcss 13051 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  w  C_  S  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
w C M ) 
C_  ( S C M ) )
131126, 129, 90, 130syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( w C M )  C_  ( S C M ) )
132 fssres 5408 . . . . . . 7  |-  ( ( K : ( S C M ) --> R  /\  ( w C M )  C_  ( S C M ) )  ->  ( K  |`  ( w C M ) ) : ( w C M ) --> R )
133125, 131, 132syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( K  |`  ( w C M ) ) : ( w C M ) --> R )
1341, 90, 91, 106, 121, 122, 124, 133rami 13062 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  E. c  e.  R  E. v  e.  ~P  w ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) )
135 equequ1 1648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  c  ->  (
y  =  d  <->  c  =  d ) )
136 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  y )  =  ( F `  c ) )
137135, 136ifbieq2d 3585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) )  =  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 c ) ) )
138 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  d )  -  1 )  e. 
_V
139 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
140138, 139ifex 3623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 c ) )  e.  _V
141137, 105, 140fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  R  ->  (
( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  =  if ( c  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  c ) ) )
142141ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) `  c )  =  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d
)  -  1 ) ,  ( F `  c ) ) )
143142breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) `  c
)  <_  ( # `  v
)  <->  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v ) ) )
144143anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) )  <->  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  c ) )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) ) ) )
1452ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  M  e.  NN )
1465ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  R  e.  Fin )
14792ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  F : R --> NN )
1486ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  G : R --> NN0 )
1497ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( ( M  -  1 ) Ramsey  G
)  e.  NN0 )
1508ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  S  e.  Fin )
15127ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
15238ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  K : ( S C M ) --> R )
15314ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  X  e.  S
)
15494adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  d  e.  R
)
155128adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  w  C_  ( S  \  { X }
) )
156123adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  <_  ( # `
 w ) )
157 simprrr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )
158157adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )
159 simprll 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  c  e.  R
)
160 simprlr 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  v  e.  ~P w )
161 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ~P w  -> 
v  C_  w )
162160, 161syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  v  C_  w
)
163 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d
)  -  1 ) ,  ( F `  c ) )  <_ 
( # `  v ) )
164 simprrr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )
165 cnvresima 5162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( K  |`  (
w C M ) ) " { c } )  =  ( ( `' K " { c } )  i^i  ( w C M ) )
166 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' K " { c } )  i^i  (
w C M ) )  C_  ( `' K " { c } )
167165, 166eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( K  |`  (
w C M ) ) " { c } )  C_  ( `' K " { c } )
168164, 167syl6ss 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( v C M )  C_  ( `' K " { c } ) )
169145, 146, 147, 114, 148, 149, 1, 150, 151, 152, 153, 87, 154, 155, 156, 158, 159, 162, 163, 168ramub1lem1 13073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
170169expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( if ( c  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  c ) )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
171144, 170sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  c )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
172171anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( d  e.  R  /\  w  e. 
~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `
 d )  <_ 
( # `  w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  c  e.  R )  /\  v  e.  ~P w )  -> 
( ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) `  c
)  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
173172rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  c  e.  R
)  ->  ( E. v  e.  ~P  w
( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) `  c )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
174173reximdva 2655 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( E. c  e.  R  E. v  e.  ~P  w
( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) `  c )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
175134, 174mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  c )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
176175expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
177176rexlimdvva 2674 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  R  E. w  e. 
~P  ( S  \  { X } ) ( ( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
17889, 177mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Fincfn 6863   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   #chash 11337   Ramsey cram 13046
This theorem is referenced by:  ramub1  13075
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338  df-ram 13048
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