Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub2 Structured version   Unicode version

Theorem ramub2 13387
 Description: It is sufficient to check the Ramsey property on finite sets of size equal to the upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c
rami.m
rami.r
rami.f
ramub2.n
ramub2.i
Assertion
Ref Expression
ramub2 Ramsey
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem ramub2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.c . 2
2 rami.m . 2
3 rami.r . 2
4 rami.f . 2
5 ramub2.n . 2
65adantr 453 . . . . . . 7
7 hashfz1 11635 . . . . . . 7
86, 7syl 16 . . . . . 6
9 simprl 734 . . . . . 6
108, 9eqbrtrd 4235 . . . . 5
11 fzfid 11317 . . . . . 6
12 vex 2961 . . . . . 6
13 hashdom 11658 . . . . . 6
1411, 12, 13sylancl 645 . . . . 5
1510, 14mpbid 203 . . . 4
1612domen 7124 . . . 4
1715, 16sylib 190 . . 3
18 simpll 732 . . . . 5
19 ensym 7159 . . . . . . . 8
2019ad2antrl 710 . . . . . . 7
21 hasheni 11637 . . . . . . 7
2220, 21syl 16 . . . . . 6
235ad2antrr 708 . . . . . . 7
2423, 7syl 16 . . . . . 6
2522, 24eqtrd 2470 . . . . 5
26 simplrr 739 . . . . . 6
2712a1i 11 . . . . . . 7
28 simprr 735 . . . . . . 7
292ad2antrr 708 . . . . . . 7
301hashbcss 13377 . . . . . . 7
3127, 28, 29, 30syl3anc 1185 . . . . . 6
32 fssres 5613 . . . . . 6
3326, 31, 32syl2anc 644 . . . . 5
34 vex 2961 . . . . . . 7
3534resex 5189 . . . . . 6
36 feq1 5579 . . . . . . . . 9
3736anbi2d 686 . . . . . . . 8
3837anbi2d 686 . . . . . . 7
39 cnveq 5049 . . . . . . . . . . . 12
4039imaeq1d 5205 . . . . . . . . . . 11
41 cnvresima 5362 . . . . . . . . . . 11
4240, 41syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10
4342sseq2d 3378 . . . . . . . . 9
4443anbi2d 686 . . . . . . . 8
45442rexbidv 2750 . . . . . . 7
4638, 45imbi12d 313 . . . . . 6
47 ramub2.i . . . . . 6
4835, 46, 47vtocl 3008 . . . . 5
4918, 25, 33, 48syl12anc 1183 . . . 4
50 sstr 3358 . . . . . . . . . 10
5150expcom 426 . . . . . . . . 9
5251ad2antll 711 . . . . . . . 8
53 vex 2961 . . . . . . . . 9
5453elpw 3807 . . . . . . . 8
5553elpw 3807 . . . . . . . 8
5652, 54, 553imtr4g 263 . . . . . . 7
57 id 21 . . . . . . . . . 10
58 inss1 3563 . . . . . . . . . 10
5957, 58syl6ss 3362 . . . . . . . . 9
6059a1i 11 . . . . . . . 8
6160anim2d 550 . . . . . . 7
6256, 61anim12d 548 . . . . . 6
6362reximdv2 2817 . . . . 5
6463reximdv 2819 . . . 4
6549, 64mpd 15 . . 3
6617, 65exlimddv 1649 . 2
671, 2, 3, 4, 5, 66ramub 13386 1 Ramsey
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  cpw 3801  csn 3816   class class class wbr 4215  ccnv 4880   cres 4883  cima 4884  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086   cen 7109   cdom 7110  cfn 7112  c1 8996   cle 9126  cn0 10226  cfz 11048  chash 11623   Ramsey cram 13372 This theorem is referenced by:  ramub1  13401 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-hash 11624  df-ram 13374
 Copyright terms: Public domain W3C validator