MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramubcl Unicode version

Theorem ramubcl 13156
Description: If the Ramsey number is upper bounded, then it is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramubcl  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem ramubcl
StepHypRef Expression
1 nn0re 10063 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
2 ltpnf 10552 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  +oo )
3 rexr 8964 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
4 pnfxr 10544 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
5 xrltnle 8978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  <  +oo  <->  -.  +oo  <_  A
) )
63, 4, 5sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  +oo  <->  -.  +oo  <_  A
) )
72, 6mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  +oo 
<_  A )
81, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  -.  +oo  <_  A )
98ad2antrl 708 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -.  +oo  <_  A
)
10 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  <_  A )
11 breq1 4105 . . . . 5  |-  ( ( M Ramsey  F )  = 
+oo  ->  ( ( M Ramsey  F )  <_  A  <->  +oo 
<_  A ) )
1210, 11syl5ibcom 211 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( ( M Ramsey  F )  =  +oo  ->  +oo  <_  A )
)
139, 12mtod 168 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -.  ( M Ramsey  F )  =  +oo )
14 elsni 3740 . . 3  |-  ( ( M Ramsey  F )  e. 
{  +oo }  ->  ( M Ramsey  F )  =  +oo )
1513, 14nsyl 113 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -.  ( M Ramsey  F )  e.  {  +oo } )
16 ramcl2 13154 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  { 
+oo } ) )
1716adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  ( NN0 
u.  {  +oo } ) )
18 elun 3392 . . . 4  |-  ( ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )  <->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  \/  ( M Ramsey  F )  e.  {  +oo }
) )
1917, 18sylib 188 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  \/  ( M Ramsey  F )  e.  {  +oo }
) )
2019ord 366 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( -.  ( M Ramsey  F )  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  F )  e.  {  +oo }
) )
2115, 20mt3d 117 1  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    u. cun 3226   {csn 3716   class class class wbr 4102   -->wf 5330  (class class class)co 5942   RRcr 8823    +oocpnf 8951   RR*cxr 8953    < clt 8954    <_ cle 8955   NN0cn0 10054   Ramsey cram 13137
This theorem is referenced by:  ramlb  13157  0ram  13158  ram0  13160  ramz2  13162  ramcl  13167
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-ram 13139
  Copyright terms: Public domain W3C validator