MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramubcl Unicode version

Theorem ramubcl 13065
Description: If the Ramsey number is upper bounded, then it is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramubcl  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem ramubcl
StepHypRef Expression
1 nn0re 9974 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
2 ltpnf 10463 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  +oo )
3 rexr 8877 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
4 pnfxr 10455 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
5 xrltnle 8891 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  <  +oo  <->  -.  +oo  <_  A
) )
63, 4, 5sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  +oo  <->  -.  +oo  <_  A
) )
72, 6mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  +oo 
<_  A )
81, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  -.  +oo  <_  A )
98ad2antrl 708 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -.  +oo  <_  A
)
10 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  <_  A )
11 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( ( M Ramsey  F )  = 
+oo  ->  ( ( M Ramsey  F )  <_  A  <->  +oo 
<_  A ) )
1210, 11syl5ibcom 211 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( ( M Ramsey  F )  =  +oo  ->  +oo  <_  A )
)
139, 12mtod 168 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -.  ( M Ramsey  F )  =  +oo )
14 elsni 3664 . . 3  |-  ( ( M Ramsey  F )  e. 
{  +oo }  ->  ( M Ramsey  F )  =  +oo )
1513, 14nsyl 113 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -.  ( M Ramsey  F )  e.  {  +oo } )
16 ramcl2 13063 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  { 
+oo } ) )
1716adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  ( NN0 
u.  {  +oo } ) )
18 elun 3316 . . . 4  |-  ( ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )  <->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  \/  ( M Ramsey  F )  e.  {  +oo }
) )
1917, 18sylib 188 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  \/  ( M Ramsey  F )  e.  {  +oo }
) )
2019ord 366 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( -.  ( M Ramsey  F )  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  F )  e.  {  +oo }
) )
2115, 20mt3d 117 1  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150   {csn 3640   class class class wbr 4023   -->wf 5251  (class class class)co 5858   RRcr 8736    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   Ramsey cram 13046
This theorem is referenced by:  ramlb  13066  0ram  13067  ram0  13069  ramz2  13071  ramcl  13076
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-ram 13048
  Copyright terms: Public domain W3C validator