MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramubcl Unicode version

Theorem ramubcl 13349
Description: If the Ramsey number is upper bounded, then it is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramubcl  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem ramubcl
StepHypRef Expression
1 nn0re 10194 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
2 ltpnf 10685 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  +oo )
3 rexr 9094 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
4 pnfxr 10677 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
5 xrltnle 9108 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  <  +oo  <->  -.  +oo  <_  A
) )
63, 4, 5sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  +oo  <->  -.  +oo  <_  A
) )
72, 6mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  +oo 
<_  A )
81, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  -.  +oo  <_  A )
98ad2antrl 709 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -.  +oo  <_  A
)
10 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  <_  A )
11 breq1 4183 . . . . 5  |-  ( ( M Ramsey  F )  = 
+oo  ->  ( ( M Ramsey  F )  <_  A  <->  +oo 
<_  A ) )
1210, 11syl5ibcom 212 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( ( M Ramsey  F )  =  +oo  ->  +oo  <_  A )
)
139, 12mtod 170 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -.  ( M Ramsey  F )  =  +oo )
14 elsni 3806 . . 3  |-  ( ( M Ramsey  F )  e. 
{  +oo }  ->  ( M Ramsey  F )  =  +oo )
1513, 14nsyl 115 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -.  ( M Ramsey  F )  e.  {  +oo } )
16 ramcl2 13347 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  { 
+oo } ) )
1716adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  ( NN0 
u.  {  +oo } ) )
18 elun 3456 . . . 4  |-  ( ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )  <->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  \/  ( M Ramsey  F )  e.  {  +oo }
) )
1917, 18sylib 189 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  \/  ( M Ramsey  F )  e.  {  +oo }
) )
2019ord 367 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( -.  ( M Ramsey  F )  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  F )  e.  {  +oo }
) )
2115, 20mt3d 119 1  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    u. cun 3286   {csn 3782   class class class wbr 4180   -->wf 5417  (class class class)co 6048   RRcr 8953    +oocpnf 9081   RR*cxr 9083    < clt 9084    <_ cle 9085   NN0cn0 10185   Ramsey cram 13330
This theorem is referenced by:  ramlb  13350  0ram  13351  ram0  13353  ramz2  13355  ramcl  13360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-ram 13332
  Copyright terms: Public domain W3C validator