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Theorem ramval 13377
Description: The value of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramval.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
ramval  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  ) )
Distinct variable groups:    f, c, x, C    n, c, s, F, f, x    a,
b, c, f, i, n, s, x, M    R, c, f, n, s, x    V, c, f, n, s, x
Allowed substitution hints:    C( i, n, s, a, b)    R( i, a, b)    T( x, f, i, n, s, a, b, c)    F( i, a, b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem ramval
Dummy variables  y  m  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ram 13370 . . 3  |- Ramsey  =  ( m  e.  NN0 , 
r  e.  _V  |->  sup ( { n  e. 
NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  -> Ramsey 
=  ( m  e. 
NN0 ,  r  e.  _V  |->  sup ( { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
3 simplrr 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  r  =  F )
43dmeqd 5073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  r  =  dom  F )
5 simpll3 999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  F : R
--> NN0 )
6 fdm 5596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : R --> NN0  ->  dom 
F  =  R )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  F  =  R )
84, 7eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  r  =  R )
9 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  m  =  M )
109eqeq2d 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 y )  =  m  <->  ( # `  y
)  =  M ) )
1110rabbidv 2949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  { y  e.  ~P s  |  (
# `  y )  =  m }  =  {
y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  M }
)
12 vex 2960 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
13 simpll1 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
14 ramval.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
1514hashbcval 13371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  _V  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( s C M )  =  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  M }
)
1612, 13, 15sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( s C M )  =  {
y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  M }
)
1711, 16eqtr4d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  { y  e.  ~P s  |  (
# `  y )  =  m }  =  ( s C M ) )
188, 17oveq12d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( dom  r  ^m  { y  e. 
~P s  |  (
# `  y )  =  m } )  =  ( R  ^m  (
s C M ) ) )
1918raleqdv 2911 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e. 
~P s  |  (
# `  y )  =  m } ) E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) )
20 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  M  /\  r  =  F )  ->  r  =  F )
2120dmeqd 5073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  M  /\  r  =  F )  ->  dom  r  =  dom  F )
2263ad2ant3 981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  dom  F  =  R )
2321, 22sylan9eqr 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  dom  r  =  R )
2423ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R
--> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  ->  dom  r  =  R )
253ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
r  =  F )
2625fveq1d 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( r `  c
)  =  ( F `
 c ) )
2726breq1d 4223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( ( r `  c )  <_  ( # `
 x )  <->  ( F `  c )  <_  ( # `
 x ) ) )
289ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  m  =  M )
2928oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C m )  =  ( x C M ) )
30 vex 2960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
3113ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  M  e.  NN0 )
3228, 31eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  m  e.  NN0 )
3314hashbcval 13371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( x C m )  =  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
)
3430, 32, 33sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C m )  =  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
)
3529, 34eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C M )  =  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
)
3635sseq1d 3376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } )  <->  { y  e.  ~P x  |  (
# `  y )  =  m }  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
37 rabss 3421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }  C_  ( `' f " { c } )  <->  A. y  e.  ~P  x ( ( # `  y )  =  m  ->  y  e.  ( `' f " {
c } ) ) )
38 elmapi 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) )  ->  f : ( s C M ) --> R )
3938ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  f :
( s C M ) --> R )
40 ffn 5592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : ( s C M ) --> R  -> 
f  Fn  ( s C M ) )
41 fniniseg 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  Fn  ( s C M )  ->  (
y  e.  ( `' f " { c } )  <->  ( y  e.  ( s C M )  /\  ( f `
 y )  =  c ) ) )
4239, 40, 413syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  ( y  e.  ( `' f " { c } )  <-> 
( y  e.  ( s C M )  /\  ( f `  y )  =  c ) ) )
4335eleq2d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( y  e.  ( x C M )  <-> 
y  e.  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
) )
44 rabid 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  { y  e. 
~P x  |  (
# `  y )  =  m }  <->  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `
 y )  =  m ) )
4543, 44syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( y  e.  ( x C M )  <-> 
( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) ) )
4645biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  y  e.  ( x C M ) )
4712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
s  e.  _V )
48 elpwi 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ~P s  ->  x  C_  s )
4948adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  x  C_  s )
5014hashbcss 13373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( s  e.  _V  /\  x  C_  s  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x C M ) 
C_  ( s C M ) )
5147, 49, 31, 50syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C M )  C_  ( s C M ) )
5251sselda 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  y  e.  ( x C M ) )  -> 
y  e.  ( s C M ) )
5346, 52syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  y  e.  ( s C M ) )
5453biantrurd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  ( (
f `  y )  =  c  <->  ( y  e.  ( s C M )  /\  ( f `
 y )  =  c ) ) )
5542, 54bitr4d 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  ( y  e.  ( `' f " { c } )  <-> 
( f `  y
)  =  c ) )
5655anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  y  e.  ~P x
)  /\  ( # `  y
)  =  m )  ->  ( y  e.  ( `' f " { c } )  <-> 
( f `  y
)  =  c ) )
5756pm5.74da 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  y  e.  ~P x
)  ->  ( (
( # `  y )  =  m  ->  y  e.  ( `' f " { c } ) )  <->  ( ( # `  y )  =  m  ->  ( f `  y )  =  c ) ) )
5857ralbidva 2722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  y  e.  ( `' f " { c } ) )  <->  A. y  e.  ~P  x ( ( # `  y )  =  m  ->  ( f `  y )  =  c ) ) )
5937, 58syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( { y  e. 
~P x  |  (
# `  y )  =  m }  C_  ( `' f " {
c } )  <->  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) )
6036, 59bitr2d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c )  <->  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
6127, 60anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6261rexbidva 2723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R
--> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  ->  ( E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  E. x  e.  ~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6324, 62rexeqbidv 2918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R
--> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  ->  ( E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6463ralbidva 2722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6519, 64bitrd 246 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e. 
~P s  |  (
# `  y )  =  m } ) E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6665imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) )  <-> 
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) ) )
6766albidv 1636 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  {
y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) )  <->  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
6867rabbidva 2948 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) }  =  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } )
69 ramval.t . . . 4  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
7068, 69syl6eqr 2487 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) }  =  T )
7170supeq1d 7452 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  sup ( { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  ) )
72 simp1 958 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
73 simp3 960 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  F : R --> NN0 )
74 simp2 959 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  R  e.  V )
75 fex 5970 . . 3  |-  ( ( F : R --> NN0  /\  R  e.  V )  ->  F  e.  _V )
7673, 74, 75syl2anc 644 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  F  e.  _V )
77 xrltso 10735 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
78 cnvso 5412 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
7977, 78mpbi 201 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
8079supex 7469 . . 3  |-  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V
8180a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V )
822, 71, 72, 76, 81ovmpt2d 6202 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707   {crab 2710   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   ~Pcpw 3800   {csn 3815   class class class wbr 4213    Or wor 4503   `'ccnv 4878   dom cdm 4879   "cima 4882    Fn wfn 5450   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084    ^m cmap 7019   supcsup 7446   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122   NN0cn0 10222   #chash 11619   Ramsey cram 13368
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  13378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-ram 13370
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