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Theorem ramval 13102
Description: The value of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramval.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
ramval  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  ) )
Distinct variable groups:    f, c, x, C    n, c, s, F, f, x    a,
b, c, f, i, n, s, x, M    R, c, f, n, s, x    V, c, f, n, s, x
Allowed substitution hints:    C( i, n, s, a, b)    R( i, a, b)    T( x, f, i, n, s, a, b, c)    F( i, a, b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem ramval
Dummy variables  y  m  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ram 13095 . . 3  |- Ramsey  =  ( m  e.  NN0 , 
r  e.  _V  |->  sup ( { n  e. 
NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
21a1i 10 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  -> Ramsey 
=  ( m  e. 
NN0 ,  r  e.  _V  |->  sup ( { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
3 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  r  =  F )
43dmeqd 4918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  r  =  dom  F )
5 simpll3 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  F : R
--> NN0 )
6 fdm 5431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : R --> NN0  ->  dom 
F  =  R )
75, 6syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  F  =  R )
84, 7eqtrd 2348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  r  =  R )
9 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  m  =  M )
109eqeq2d 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 y )  =  m  <->  ( # `  y
)  =  M ) )
1110rabbidv 2814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  { y  e.  ~P s  |  (
# `  y )  =  m }  =  {
y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  M }
)
12 vex 2825 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
13 simpll1 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
14 ramval.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
1514hashbcval 13096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  _V  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( s C M )  =  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  M }
)
1612, 13, 15sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( s C M )  =  {
y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  M }
)
1711, 16eqtr4d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  { y  e.  ~P s  |  (
# `  y )  =  m }  =  ( s C M ) )
188, 17oveq12d 5918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( dom  r  ^m  { y  e. 
~P s  |  (
# `  y )  =  m } )  =  ( R  ^m  (
s C M ) ) )
1918raleqdv 2776 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e. 
~P s  |  (
# `  y )  =  m } ) E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) )
20 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  M  /\  r  =  F )  ->  r  =  F )
2120dmeqd 4918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  M  /\  r  =  F )  ->  dom  r  =  dom  F )
2263ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  dom  F  =  R )
2321, 22sylan9eqr 2370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  dom  r  =  R )
2423ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R
--> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  ->  dom  r  =  R )
253ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
r  =  F )
2625fveq1d 5565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( r `  c
)  =  ( F `
 c ) )
2726breq1d 4070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( ( r `  c )  <_  ( # `
 x )  <->  ( F `  c )  <_  ( # `
 x ) ) )
289ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  m  =  M )
2928oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C m )  =  ( x C M ) )
30 vex 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
3113ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  M  e.  NN0 )
3228, 31eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  m  e.  NN0 )
3314hashbcval 13096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( x C m )  =  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
)
3430, 32, 33sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C m )  =  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
)
3529, 34eqtr3d 2350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C M )  =  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
)
3635sseq1d 3239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } )  <->  { y  e.  ~P x  |  (
# `  y )  =  m }  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
37 rabss 3284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }  C_  ( `' f " { c } )  <->  A. y  e.  ~P  x ( ( # `  y )  =  m  ->  y  e.  ( `' f " {
c } ) ) )
38 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )
39 elmapi 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) )  ->  f : ( s C M ) --> R )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  f :
( s C M ) --> R )
41 ffn 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : ( s C M ) --> R  -> 
f  Fn  ( s C M ) )
42 fniniseg 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  Fn  ( s C M )  ->  (
y  e.  ( `' f " { c } )  <->  ( y  e.  ( s C M )  /\  ( f `
 y )  =  c ) ) )
4340, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  ( y  e.  ( `' f " { c } )  <-> 
( y  e.  ( s C M )  /\  ( f `  y )  =  c ) ) )
4435eleq2d 2383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( y  e.  ( x C M )  <-> 
y  e.  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
) )
45 rabid 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  { y  e. 
~P x  |  (
# `  y )  =  m }  <->  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `
 y )  =  m ) )
4644, 45syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( y  e.  ( x C M )  <-> 
( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) ) )
4746biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  y  e.  ( x C M ) )
4812a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
s  e.  _V )
49 elpwi 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ~P s  ->  x  C_  s )
5049adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  x  C_  s )
5114hashbcss 13098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( s  e.  _V  /\  x  C_  s  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x C M ) 
C_  ( s C M ) )
5248, 50, 31, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C M )  C_  ( s C M ) )
5352sselda 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  y  e.  ( x C M ) )  -> 
y  e.  ( s C M ) )
5447, 53syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  y  e.  ( s C M ) )
5554biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  ( (
f `  y )  =  c  <->  ( y  e.  ( s C M )  /\  ( f `
 y )  =  c ) ) )
5643, 55bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  ( y  e.  ( `' f " { c } )  <-> 
( f `  y
)  =  c ) )
5756anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  y  e.  ~P x
)  /\  ( # `  y
)  =  m )  ->  ( y  e.  ( `' f " { c } )  <-> 
( f `  y
)  =  c ) )
5857pm5.74da 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  y  e.  ~P x
)  ->  ( (
( # `  y )  =  m  ->  y  e.  ( `' f " { c } ) )  <->  ( ( # `  y )  =  m  ->  ( f `  y )  =  c ) ) )
5958ralbidva 2593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  y  e.  ( `' f " { c } ) )  <->  A. y  e.  ~P  x ( ( # `  y )  =  m  ->  ( f `  y )  =  c ) ) )
6037, 59syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( { y  e. 
~P x  |  (
# `  y )  =  m }  C_  ( `' f " {
c } )  <->  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) )
6136, 60bitr2d 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c )  <->  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
6227, 61anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6362rexbidva 2594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R
--> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  ->  ( E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  E. x  e.  ~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6424, 63rexeqbidv 2783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R
--> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  ->  ( E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6564ralbidva 2593 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6619, 65bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e. 
~P s  |  (
# `  y )  =  m } ) E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6766imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) )  <-> 
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) ) )
6867albidv 1616 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  {
y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) )  <->  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
6968rabbidva 2813 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) }  =  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } )
70 ramval.t . . . 4  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
7169, 70syl6eqr 2366 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) }  =  T )
7271supeq1d 7244 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  sup ( { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  ) )
73 simp1 955 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
74 simp3 957 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  F : R --> NN0 )
75 simp2 956 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  R  e.  V )
76 fex 5790 . . 3  |-  ( ( F : R --> NN0  /\  R  e.  V )  ->  F  e.  _V )
7774, 75, 76syl2anc 642 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  F  e.  _V )
78 xrltso 10522 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
79 cnvso 5251 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
8078, 79mpbi 199 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
8180supex 7259 . . 3  |-  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V
8281a1i 10 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V )
832, 72, 73, 77, 82ovmpt2d 6017 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1531    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578   {crab 2581   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   ~Pcpw 3659   {csn 3674   class class class wbr 4060    Or wor 4350   `'ccnv 4725   dom cdm 4726   "cima 4729    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    e. cmpt2 5902    ^m cmap 6815   supcsup 7238   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913   NN0cn0 10012   #chash 11384   Ramsey cram 13093
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  13103
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-ram 13095
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