Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramz2 Structured version   Unicode version

Theorem ramz2 13394
 Description: The Ramsey number when has value zero for some color . (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramz2 Ramsey

Proof of Theorem ramz2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3
2 simpl1 961 . . . 4
32nnnn0d 10276 . . 3
4 simpl2 962 . . 3
5 simpl3 963 . . 3
6 0nn0 10238 . . . 4
76a1i 11 . . 3
8 simplrl 738 . . . 4
9 0elpw 4371 . . . . 5
109a1i 11 . . . 4
11 simplrr 739 . . . . 5
12 0le0 10083 . . . . 5
1311, 12syl6eqbr 4251 . . . 4
14 simpll1 997 . . . . . 6
1510hashbc 13377 . . . . . 6
1614, 15syl 16 . . . . 5
17 0ss 3658 . . . . 5
1816, 17syl6eqss 3400 . . . 4
19 fveq2 5730 . . . . . . 7
2019breq1d 4224 . . . . . 6
21 sneq 3827 . . . . . . . 8
2221imaeq2d 5205 . . . . . . 7
2322sseq2d 3378 . . . . . 6
2420, 23anbi12d 693 . . . . 5
25 fveq2 5730 . . . . . . . 8
26 hash0 11648 . . . . . . . 8
2725, 26syl6eq 2486 . . . . . . 7
2827breq2d 4226 . . . . . 6
29 oveq1 6090 . . . . . . 7
3029sseq1d 3377 . . . . . 6
3128, 30anbi12d 693 . . . . 5
3224, 31rspc2ev 3062 . . . 4
338, 10, 13, 18, 32syl112anc 1189 . . 3
341, 3, 4, 5, 7, 33ramub 13383 . 2 Ramsey
35 ramubcl 13388 . . . 4 Ramsey Ramsey
363, 4, 5, 7, 34, 35syl32anc 1193 . . 3 Ramsey
37 nn0le0eq0 10252 . . 3 Ramsey Ramsey Ramsey
3836, 37syl 16 . 2 Ramsey Ramsey
3934, 38mpbid 203 1 Ramsey
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   wss 3322  c0 3630  cpw 3801  csn 3816   class class class wbr 4214  ccnv 4879  cima 4883  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  cc0 8992   cle 9123  cn 10002  cn0 10223  chash 11620   Ramsey cram 13369 This theorem is referenced by:  ramz  13395  ramcl  13399 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-seq 11326  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-ram 13371
 Copyright terms: Public domain W3C validator