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Theorem rankaltopb 24585
Description: Compute the rank of an alternate ordered pair. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankaltopb  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  << A ,  B >> )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  suc  ( rank `  B ) ) )

Proof of Theorem rankaltopb
StepHypRef Expression
1 snwf 7497 . . 3  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  ->  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )
2 df-altop 24564 . . . . . 6  |-  << A ,  B >>  =  { { A } ,  { A ,  { B } } }
32fveq2i 5544 . . . . 5  |-  ( rank `  << A ,  B >> )  =  ( rank `  { { A } ,  { A ,  { B } } } )
4 snwf 7497 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  { A }  e.  U. ( R1 " On ) )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  { A }  e.  U. ( R1 " On ) )
6 prwf 7499 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  { A ,  { B } }  e.  U. ( R1 " On ) )
7 rankprb 7539 . . . . . 6  |-  ( ( { A }  e.  U. ( R1 " On )  /\  { A ,  { B } }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  { { A } ,  { A ,  { B } } } )  =  suc  ( ( rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) ) )
85, 6, 7syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  { { A } ,  { A ,  { B } } } )  =  suc  ( (
rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) ) )
93, 8syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank ` 
<< A ,  B >> )  =  suc  ( (
rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) ) )
10 snsspr1 3780 . . . . . . . 8  |-  { A }  C_  { A ,  { B } }
11 ssequn1 3358 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  C_  { A ,  { B } }  <->  ( { A }  u.  { A ,  { B } } )  =  { A ,  { B } } )
1210, 11mpbi 199 . . . . . . 7  |-  ( { A }  u.  { A ,  { B } } )  =  { A ,  { B } }
1312fveq2i 5544 . . . . . 6  |-  ( rank `  ( { A }  u.  { A ,  { B } } ) )  =  ( rank `  { A ,  { B } } )
14 rankunb 7538 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  e.  U. ( R1 " On )  /\  { A ,  { B } }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( { A }  u.  { A ,  { B } }
) )  =  ( ( rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) ) )
155, 6, 14syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( { A }  u.  { A ,  { B } } ) )  =  ( ( rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) ) )
16 rankprb 7539 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  { A ,  { B } } )  =  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  { B }
) ) )
1713, 15, 163eqtr3a 2352 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( ( rank `  { A }
)  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) )  =  suc  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  { B } ) ) )
18 suceq 4473 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) )  =  suc  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  { B } ) )  ->  suc  ( ( rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) ) )
1917, 18syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  suc  ( (
rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) ) )
209, 19eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank ` 
<< A ,  B >> )  =  suc  suc  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  { B } ) ) )
211, 20sylan2 460 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  << A ,  B >> )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) ) )
22 ranksnb 7515 . . . . 5  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  { B } )  =  suc  ( rank `  B )
)
2322uneq2d 3342 . . . 4  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) )  =  ( (
rank `  A )  u.  suc  ( rank `  B
) ) )
24 suceq 4473 . . . 4  |-  ( ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) )  =  ( (
rank `  A )  u.  suc  ( rank `  B
) )  ->  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) )  =  suc  (
( rank `  A )  u.  suc  ( rank `  B
) ) )
25 suceq 4473 . . . 4  |-  ( suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) )  =  suc  (
( rank `  A )  u.  suc  ( rank `  B
) )  ->  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  suc  ( rank `  B ) ) )
2623, 24, 253syl 18 . . 3  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  ->  suc  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  { B }
) )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  suc  ( rank `  B ) ) )
2726adantl 452 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  suc  suc  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  { B } ) )  =  suc  suc  ( ( rank `  A )  u. 
suc  ( rank `  B
) ) )
2821, 27eqtrd 2328 1  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  << A ,  B >> )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  suc  ( rank `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3653   {cpr 3654   U.cuni 3843   Oncon0 4408   suc csuc 4410   "cima 4708   ` cfv 5271   R1cr1 7450   rankcrnk 7451   <<caltop 24562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-r1 7452  df-rank 7453  df-altop 24564
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