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Theorem rankaltopb 25824
Description: Compute the rank of an alternate ordered pair. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankaltopb  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  << A ,  B >> )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  suc  ( rank `  B ) ) )

Proof of Theorem rankaltopb
StepHypRef Expression
1 snwf 7735 . . 3  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  ->  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )
2 df-altop 25803 . . . . . 6  |-  << A ,  B >>  =  { { A } ,  { A ,  { B } } }
32fveq2i 5731 . . . . 5  |-  ( rank `  << A ,  B >> )  =  ( rank `  { { A } ,  { A ,  { B } } } )
4 snwf 7735 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  { A }  e.  U. ( R1 " On ) )
54adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  { A }  e.  U. ( R1 " On ) )
6 prwf 7737 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  { A ,  { B } }  e.  U. ( R1 " On ) )
7 rankprb 7777 . . . . . 6  |-  ( ( { A }  e.  U. ( R1 " On )  /\  { A ,  { B } }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  { { A } ,  { A ,  { B } } } )  =  suc  ( ( rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) ) )
85, 6, 7syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  { { A } ,  { A ,  { B } } } )  =  suc  ( (
rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) ) )
93, 8syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank ` 
<< A ,  B >> )  =  suc  ( (
rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) ) )
10 snsspr1 3947 . . . . . . . 8  |-  { A }  C_  { A ,  { B } }
11 ssequn1 3517 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  C_  { A ,  { B } }  <->  ( { A }  u.  { A ,  { B } } )  =  { A ,  { B } } )
1210, 11mpbi 200 . . . . . . 7  |-  ( { A }  u.  { A ,  { B } } )  =  { A ,  { B } }
1312fveq2i 5731 . . . . . 6  |-  ( rank `  ( { A }  u.  { A ,  { B } } ) )  =  ( rank `  { A ,  { B } } )
14 rankunb 7776 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  e.  U. ( R1 " On )  /\  { A ,  { B } }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( { A }  u.  { A ,  { B } }
) )  =  ( ( rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) ) )
155, 6, 14syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( { A }  u.  { A ,  { B } } ) )  =  ( ( rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) ) )
16 rankprb 7777 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  { A ,  { B } } )  =  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  { B }
) ) )
1713, 15, 163eqtr3a 2492 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( ( rank `  { A }
)  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) )  =  suc  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  { B } ) ) )
18 suceq 4646 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) )  =  suc  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  { B } ) )  ->  suc  ( ( rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) ) )
1917, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  suc  ( (
rank `  { A } )  u.  ( rank `  { A ,  { B } } ) )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) ) )
209, 19eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  { B }  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank ` 
<< A ,  B >> )  =  suc  suc  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  { B } ) ) )
211, 20sylan2 461 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  << A ,  B >> )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) ) )
22 ranksnb 7753 . . . . 5  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  { B } )  =  suc  ( rank `  B )
)
2322uneq2d 3501 . . . 4  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) )  =  ( (
rank `  A )  u.  suc  ( rank `  B
) ) )
24 suceq 4646 . . . 4  |-  ( ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) )  =  ( (
rank `  A )  u.  suc  ( rank `  B
) )  ->  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) )  =  suc  (
( rank `  A )  u.  suc  ( rank `  B
) ) )
25 suceq 4646 . . . 4  |-  ( suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) )  =  suc  (
( rank `  A )  u.  suc  ( rank `  B
) )  ->  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { B } ) )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  suc  ( rank `  B ) ) )
2623, 24, 253syl 19 . . 3  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  ->  suc  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  { B }
) )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  suc  ( rank `  B ) ) )
2726adantl 453 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  suc  suc  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  { B } ) )  =  suc  suc  ( ( rank `  A )  u. 
suc  ( rank `  B
) ) )
2821, 27eqtrd 2468 1  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  << A ,  B >> )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  suc  ( rank `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3318    C_ wss 3320   {csn 3814   {cpr 3815   U.cuni 4015   Oncon0 4581   suc csuc 4583   "cima 4881   ` cfv 5454   R1cr1 7688   rankcrnk 7689   <<caltop 25801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-r1 7690  df-rank 7691  df-altop 25803
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