MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankc2 Unicode version

Theorem rankc2 7559
Description: A relationship that can be used for computation of rank. (Contributed by NM, 16-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
rankr1b.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankc2  |-  ( E. x  e.  A  (
rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  ( rank `  A )  =  suc  ( rank `  U. A ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem rankc2
StepHypRef Expression
1 pwuni 4222 . . . . 5  |-  A  C_  ~P U. A
2 rankr1b.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
32uniex 4532 . . . . . . 7  |-  U. A  e.  _V
43pwex 4209 . . . . . 6  |-  ~P U. A  e.  _V
54rankss 7537 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~P U. A  -> 
( rank `  A )  C_  ( rank `  ~P U. A ) )
61, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  ( rank `  A )  C_  ( rank `  ~P U. A
)
73rankpw 7531 . . . 4  |-  ( rank `  ~P U. A )  =  suc  ( rank `  U. A )
86, 7sseqtri 3223 . . 3  |-  ( rank `  A )  C_  suc  ( rank `  U. A )
98a1i 10 . 2  |-  ( E. x  e.  A  (
rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  ( rank `  A )  C_  suc  ( rank `  U. A ) )
102rankel 7527 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  ( rank `  x )  e.  ( rank `  A
) )
11 eleq1 2356 . . . . 5  |-  ( (
rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  (
( rank `  x )  e.  ( rank `  A
)  <->  ( rank `  U. A )  e.  (
rank `  A )
) )
1210, 11syl5ibcom 211 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  ( rank `  U. A )  e.  ( rank `  A
) ) )
1312rexlimiv 2674 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  (
rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  ( rank `  U. A )  e.  ( rank `  A
) )
14 rankon 7483 . . . 4  |-  ( rank `  U. A )  e.  On
15 rankon 7483 . . . 4  |-  ( rank `  A )  e.  On
1614, 15onsucssi 4648 . . 3  |-  ( (
rank `  U. A )  e.  ( rank `  A
)  <->  suc  ( rank `  U. A )  C_  ( rank `  A ) )
1713, 16sylib 188 . 2  |-  ( E. x  e.  A  (
rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  suc  ( rank `  U. A ) 
C_  ( rank `  A
) )
189, 17eqssd 3209 1  |-  ( E. x  e.  A  (
rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  ( rank `  A )  =  suc  ( rank `  U. A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   suc csuc 4410   ` cfv 5271   rankcrnk 7451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-r1 7452  df-rank 7453
  Copyright terms: Public domain W3C validator