MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankdmr1 Unicode version

Theorem rankdmr1 7473
Description: A rank is a member of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankdmr1  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1

Proof of Theorem rankdmr1
StepHypRef Expression
1 rankidb 7472 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  e.  ( R1 ` 
suc  ( rank `  A
) ) )
2 elfvdm 5554 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  A
) )  ->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  suc  ( rank `  A
)  e.  dom  R1 )
4 r1funlim 7438 . . . . 5  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
54simpri 448 . . . 4  |-  Lim  dom  R1
6 limsuc 4640 . . . 4  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( (
rank `  A )  e.  dom  R1  <->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 ) )
75, 6ax-mp 8 . . 3  |-  ( (
rank `  A )  e.  dom  R1  <->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 )
83, 7sylibr 203 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  e.  dom  R1 )
9 rankvaln 7471 . . 3  |-  ( -.  A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( rank `  A )  =  (/) )
10 limomss 4661 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  om  C_  dom  R1 )
115, 10ax-mp 8 . . . 4  |-  om  C_  dom  R1
12 peano1 4675 . . . 4  |-  (/)  e.  om
1311, 12sselii 3177 . . 3  |-  (/)  e.  dom  R1
149, 13syl6eqel 2371 . 2  |-  ( -.  A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( rank `  A )  e.  dom  R1 )
158, 14pm2.61i 156 1  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    e. wcel 1684    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394   omcom 4656   dom cdm 4689   "cima 4692   Fun wfun 5249   ` cfv 5255   R1cr1 7434   rankcrnk 7435
This theorem is referenced by:  r1rankidb  7476  pwwf  7479  unwf  7482  uniwf  7491  rankr1c  7493  rankelb  7496  rankval3b  7498  rankonid  7501  rankssb  7520  rankr1id  7534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-r1 7436  df-rank 7437
  Copyright terms: Public domain W3C validator