MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankdmr1 Structured version   Unicode version

Theorem rankdmr1 7719
Description: A rank is a member of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankdmr1  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1

Proof of Theorem rankdmr1
StepHypRef Expression
1 rankidb 7718 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  e.  ( R1 ` 
suc  ( rank `  A
) ) )
2 elfvdm 5749 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  A
) )  ->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  suc  ( rank `  A
)  e.  dom  R1 )
4 r1funlim 7684 . . . . 5  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
54simpri 449 . . . 4  |-  Lim  dom  R1
6 limsuc 4821 . . . 4  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( (
rank `  A )  e.  dom  R1  <->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 ) )
75, 6ax-mp 8 . . 3  |-  ( (
rank `  A )  e.  dom  R1  <->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 )
83, 7sylibr 204 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  e.  dom  R1 )
9 rankvaln 7717 . . 3  |-  ( -.  A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( rank `  A )  =  (/) )
10 limomss 4842 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  om  C_  dom  R1 )
115, 10ax-mp 8 . . . 4  |-  om  C_  dom  R1
12 peano1 4856 . . . 4  |-  (/)  e.  om
1311, 12sselii 3337 . . 3  |-  (/)  e.  dom  R1
149, 13syl6eqel 2523 . 2  |-  ( -.  A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( rank `  A )  e.  dom  R1 )
158, 14pm2.61i 158 1  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    e. wcel 1725    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U.cuni 4007   Oncon0 4573   Lim wlim 4574   suc csuc 4575   omcom 4837   dom cdm 4870   "cima 4873   Fun wfun 5440   ` cfv 5446   R1cr1 7680   rankcrnk 7681
This theorem is referenced by:  r1rankidb  7722  pwwf  7725  unwf  7728  uniwf  7737  rankr1c  7739  rankelb  7742  rankval3b  7744  rankonid  7747  rankssb  7766  rankr1id  7780
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-r1 7682  df-rank 7683
  Copyright terms: Public domain W3C validator