MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankdmr1 Unicode version

Theorem rankdmr1 7661
Description: A rank is a member of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankdmr1  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1

Proof of Theorem rankdmr1
StepHypRef Expression
1 rankidb 7660 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  e.  ( R1 ` 
suc  ( rank `  A
) ) )
2 elfvdm 5698 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  A
) )  ->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  suc  ( rank `  A
)  e.  dom  R1 )
4 r1funlim 7626 . . . . 5  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
54simpri 449 . . . 4  |-  Lim  dom  R1
6 limsuc 4770 . . . 4  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( (
rank `  A )  e.  dom  R1  <->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 ) )
75, 6ax-mp 8 . . 3  |-  ( (
rank `  A )  e.  dom  R1  <->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 )
83, 7sylibr 204 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  e.  dom  R1 )
9 rankvaln 7659 . . 3  |-  ( -.  A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( rank `  A )  =  (/) )
10 limomss 4791 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  om  C_  dom  R1 )
115, 10ax-mp 8 . . . 4  |-  om  C_  dom  R1
12 peano1 4805 . . . 4  |-  (/)  e.  om
1311, 12sselii 3289 . . 3  |-  (/)  e.  dom  R1
149, 13syl6eqel 2476 . 2  |-  ( -.  A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( rank `  A )  e.  dom  R1 )
158, 14pm2.61i 158 1  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    e. wcel 1717    C_ wss 3264   (/)c0 3572   U.cuni 3958   Oncon0 4523   Lim wlim 4524   suc csuc 4525   omcom 4786   dom cdm 4819   "cima 4822   Fun wfun 5389   ` cfv 5395   R1cr1 7622   rankcrnk 7623
This theorem is referenced by:  r1rankidb  7664  pwwf  7667  unwf  7670  uniwf  7679  rankr1c  7681  rankelb  7684  rankval3b  7686  rankonid  7689  rankssb  7708  rankr1id  7722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-r1 7624  df-rank 7625
  Copyright terms: Public domain W3C validator