MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankelop Structured version   Unicode version

Theorem rankelop 7803
Description: Rank membership is inherited by ordered pairs. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankelun.1  |-  A  e. 
_V
rankelun.2  |-  B  e. 
_V
rankelun.3  |-  C  e. 
_V
rankelun.4  |-  D  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankelop  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  C )  /\  ( rank `  B )  e.  ( rank `  D
) )  ->  ( rank `  <. A ,  B >. )  e.  ( rank `  <. C ,  D >. ) )

Proof of Theorem rankelop
StepHypRef Expression
1 rankelun.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 rankelun.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3 rankelun.3 . . . 4  |-  C  e. 
_V
4 rankelun.4 . . . 4  |-  D  e. 
_V
51, 2, 3, 4rankelpr 7802 . . 3  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  C )  /\  ( rank `  B )  e.  ( rank `  D
) )  ->  ( rank `  { A ,  B } )  e.  (
rank `  { C ,  D } ) )
6 rankon 7724 . . . . 5  |-  ( rank `  { C ,  D } )  e.  On
76onordi 4689 . . . 4  |-  Ord  ( rank `  { C ,  D } )
8 ordsucelsuc 4805 . . . 4  |-  ( Ord  ( rank `  { C ,  D }
)  ->  ( ( rank `  { A ,  B } )  e.  (
rank `  { C ,  D } )  <->  suc  ( rank `  { A ,  B } )  e.  suc  ( rank `  { C ,  D } ) ) )
97, 8ax-mp 5 . . 3  |-  ( (
rank `  { A ,  B } )  e.  ( rank `  { C ,  D }
)  <->  suc  ( rank `  { A ,  B }
)  e.  suc  ( rank `  { C ,  D } ) )
105, 9sylib 190 . 2  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  C )  /\  ( rank `  B )  e.  ( rank `  D
) )  ->  suc  ( rank `  { A ,  B } )  e. 
suc  ( rank `  { C ,  D }
) )
111, 2rankop 7787 . . 3  |-  ( rank `  <. A ,  B >. )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )
121, 2rankpr 7786 . . . 4  |-  ( rank `  { A ,  B } )  =  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )
13 suceq 4649 . . . 4  |-  ( (
rank `  { A ,  B } )  =  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  suc  ( rank `  { A ,  B } )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  suc  ( rank `  { A ,  B } )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )
1511, 14eqtr4i 2461 . 2  |-  ( rank `  <. A ,  B >. )  =  suc  ( rank `  { A ,  B } )
163, 4rankop 7787 . . 3  |-  ( rank `  <. C ,  D >. )  =  suc  suc  ( ( rank `  C
)  u.  ( rank `  D ) )
173, 4rankpr 7786 . . . 4  |-  ( rank `  { C ,  D } )  =  suc  ( ( rank `  C
)  u.  ( rank `  D ) )
18 suceq 4649 . . . 4  |-  ( (
rank `  { C ,  D } )  =  suc  ( ( rank `  C )  u.  ( rank `  D ) )  ->  suc  ( rank `  { C ,  D } )  =  suc  suc  ( ( rank `  C
)  u.  ( rank `  D ) ) )
1917, 18ax-mp 5 . . 3  |-  suc  ( rank `  { C ,  D } )  =  suc  suc  ( ( rank `  C
)  u.  ( rank `  D ) )
2016, 19eqtr4i 2461 . 2  |-  ( rank `  <. C ,  D >. )  =  suc  ( rank `  { C ,  D } )
2110, 15, 203eltr4g 2521 1  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  C )  /\  ( rank `  B )  e.  ( rank `  D
) )  ->  ( rank `  <. A ,  B >. )  e.  ( rank `  <. C ,  D >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320   {cpr 3817   <.cop 3819   Ord word 4583   suc csuc 4586   ` cfv 5457   rankcrnk 7692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-reg 7563  ax-inf2 7599
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-r1 7693  df-rank 7694
  Copyright terms: Public domain W3C validator