MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankelop Unicode version

Theorem rankelop 7546
Description: Rank membership is inherited by ordered pairs. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankelun.1  |-  A  e. 
_V
rankelun.2  |-  B  e. 
_V
rankelun.3  |-  C  e. 
_V
rankelun.4  |-  D  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankelop  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  C )  /\  ( rank `  B )  e.  ( rank `  D
) )  ->  ( rank `  <. A ,  B >. )  e.  ( rank `  <. C ,  D >. ) )

Proof of Theorem rankelop
StepHypRef Expression
1 rankelun.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 rankelun.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3 rankelun.3 . . . 4  |-  C  e. 
_V
4 rankelun.4 . . . 4  |-  D  e. 
_V
51, 2, 3, 4rankelpr 7545 . . 3  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  C )  /\  ( rank `  B )  e.  ( rank `  D
) )  ->  ( rank `  { A ,  B } )  e.  (
rank `  { C ,  D } ) )
6 rankon 7467 . . . . 5  |-  ( rank `  { C ,  D } )  e.  On
76onordi 4497 . . . 4  |-  Ord  ( rank `  { C ,  D } )
8 ordsucelsuc 4613 . . . 4  |-  ( Ord  ( rank `  { C ,  D }
)  ->  ( ( rank `  { A ,  B } )  e.  (
rank `  { C ,  D } )  <->  suc  ( rank `  { A ,  B } )  e.  suc  ( rank `  { C ,  D } ) ) )
97, 8ax-mp 8 . . 3  |-  ( (
rank `  { A ,  B } )  e.  ( rank `  { C ,  D }
)  <->  suc  ( rank `  { A ,  B }
)  e.  suc  ( rank `  { C ,  D } ) )
105, 9sylib 188 . 2  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  C )  /\  ( rank `  B )  e.  ( rank `  D
) )  ->  suc  ( rank `  { A ,  B } )  e. 
suc  ( rank `  { C ,  D }
) )
111, 2rankop 7530 . . . 4  |-  ( rank `  <. A ,  B >. )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )
121, 2rankpr 7529 . . . . 5  |-  ( rank `  { A ,  B } )  =  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )
13 suceq 4457 . . . . 5  |-  ( (
rank `  { A ,  B } )  =  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  suc  ( rank `  { A ,  B } )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
1412, 13ax-mp 8 . . . 4  |-  suc  ( rank `  { A ,  B } )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )
1511, 14eqtr4i 2306 . . 3  |-  ( rank `  <. A ,  B >. )  =  suc  ( rank `  { A ,  B } )
163, 4rankop 7530 . . . 4  |-  ( rank `  <. C ,  D >. )  =  suc  suc  ( ( rank `  C
)  u.  ( rank `  D ) )
173, 4rankpr 7529 . . . . 5  |-  ( rank `  { C ,  D } )  =  suc  ( ( rank `  C
)  u.  ( rank `  D ) )
18 suceq 4457 . . . . 5  |-  ( (
rank `  { C ,  D } )  =  suc  ( ( rank `  C )  u.  ( rank `  D ) )  ->  suc  ( rank `  { C ,  D } )  =  suc  suc  ( ( rank `  C
)  u.  ( rank `  D ) ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . 4  |-  suc  ( rank `  { C ,  D } )  =  suc  suc  ( ( rank `  C
)  u.  ( rank `  D ) )
2016, 19eqtr4i 2306 . . 3  |-  ( rank `  <. C ,  D >. )  =  suc  ( rank `  { C ,  D } )
2115, 20eleq12i 2348 . 2  |-  ( (
rank `  <. A ,  B >. )  e.  (
rank `  <. C ,  D >. )  <->  suc  ( rank `  { A ,  B } )  e.  suc  ( rank `  { C ,  D } ) )
2210, 21sylibr 203 1  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  C )  /\  ( rank `  B )  e.  ( rank `  D
) )  ->  ( rank `  <. A ,  B >. )  e.  ( rank `  <. C ,  D >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150   {cpr 3641   <.cop 3643   Ord word 4391   suc csuc 4394   ` cfv 5255   rankcrnk 7435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-r1 7436  df-rank 7437
  Copyright terms: Public domain W3C validator