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Theorem rankonidlem 7500
Description: Lemma for rankonid 7501. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankonidlem  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  A )  =  A ) )

Proof of Theorem rankonidlem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 7438 . . . . 5  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
21simpri 448 . . . 4  |-  Lim  dom  R1
3 limord 4451 . . . 4  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  Ord  dom  R1
5 ordelon 4416 . . 3  |-  ( ( Ord  dom  R1  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  A  e.  On )
64, 5mpan 651 . 2  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  A  e.  On )
7 eleq1 2343 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  y  e.  dom  R1 ) )
8 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  U. ( R1 " On )  <->  y  e.  U. ( R1 " On ) ) )
9 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  y
) )
10 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
119, 10eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( rank `  x )  =  x  <->  ( rank `  y
)  =  y ) )
128, 11anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x
)  =  x )  <-> 
( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) ) )
137, 12imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x
)  =  x ) )  <->  ( y  e. 
dom  R1  ->  ( y  e.  U. ( R1
" On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) ) ) )
14 eleq1 2343 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  A  e.  dom  R1 ) )
15 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  U. ( R1 " On )  <->  A  e.  U. ( R1 " On ) ) )
16 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  A
) )
17 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
1816, 17eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  x )  =  x  <->  ( rank `  A
)  =  A ) )
1915, 18anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x
)  =  x )  <-> 
( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  A
)  =  A ) ) )
2014, 19imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x
)  =  x ) )  <->  ( A  e. 
dom  R1  ->  ( A  e.  U. ( R1
" On )  /\  ( rank `  A )  =  A ) ) ) )
21 ordtr1 4435 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  y  e.  dom  R1 ) )
224, 21ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  y  e.  dom  R1 )
2322ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  dom  R1 )
24 pm5.5 326 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( ( y  e.  dom  R1 
->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  <->  ( y  e. 
U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) ) )
2523, 24syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y  e.  dom  R1  ->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  <-> 
( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) ) )
2625ralbidva 2559 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  dom  R1 
->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) ) )
27 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  x )
28 ordelon 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Ord  dom  R1  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  x  e.  On )
294, 28mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  x  e.  On )
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  x  e.  On )
31 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  Ord  x )
33 ordelsuc 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  x  /\  Ord  x )  ->  (
y  e.  x  <->  suc  y  C_  x ) )
3427, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
( y  e.  x  <->  suc  y  C_  x )
)
3527, 34mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  suc  y  C_  x )
3623adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  dom  R1 )
37 limsuc 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 ) )
382, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 )
3936, 38sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  suc  y  e.  dom  R1 )
40 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  x  e.  dom  R1 )
41 r1ord3g 7451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( suc  y  e.  dom  R1 
/\  x  e.  dom  R1 )  ->  ( suc  y  C_  x  ->  ( R1 `  suc  y ) 
C_  ( R1 `  x ) ) )
4239, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
( suc  y  C_  x  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  x ) ) )
4335, 42mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  x ) )
44 rankidb 7472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  U. ( R1
" On )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  ( rank `  y ) ) )
4544ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  ( rank `  y ) ) )
46 suceq 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
rank `  y )  =  y  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  y )
4746ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  suc  ( rank `  y
)  =  suc  y
)
4847fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
( R1 `  suc  ( rank `  y )
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
4945, 48eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  y )
)
5043, 49sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  ( R1
`  x ) )
5150ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y  e.  U. ( R1
" On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  -> 
y  e.  ( R1
`  x ) ) )
5251ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y )  ->  A. y  e.  x  y  e.  ( R1 `  x ) ) )
5352imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  A. y  e.  x  y  e.  ( R1 `  x ) )
54 dfss3 3170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  ( R1 `  x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  ( R1 `  x ) )
5553, 54sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  C_  ( R1 `  x ) )
56 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
5756elpw 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ( R1
`  x )  <->  x  C_  ( R1 `  x ) )
5855, 57sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  e.  ~P ( R1 `  x
) )
59 r1sucg 7441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  x
)  =  ~P ( R1 `  x ) )
6059adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( R1 ` 
suc  x )  =  ~P ( R1 `  x ) )
6158, 60eleqtrrd 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  e.  ( R1 `  suc  x
) )
62 r1elwf 7468 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R1 `  suc  x )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
64 rankval3b 7498 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  x )  =  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z } )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( rank `  x )  =  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z } )
66 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
rank `  y )  =  y  ->  ( (
rank `  y )  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6766adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  -> 
( ( rank `  y
)  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6867ralimi 2618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  ->  A. y  e.  x  ( ( rank `  y
)  e.  z  <->  y  e.  z ) )
69 ralbi 2679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  x  (
( rank `  y )  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  ( A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z  <->  A. y  e.  x  y  e.  z )
)
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  -> 
( A. y  e.  x  ( rank `  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  x  y  e.  z ) )
71 dfss3 3170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  z  <->  A. y  e.  x  y  e.  z )
7270, 71syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  -> 
( A. y  e.  x  ( rank `  y
)  e.  z  <->  x  C_  z
) )
7372rabbidv 2780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  ->  { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z }  =  {
z  e.  On  |  x  C_  z } )
7473inteqd 3867 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  ->  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z }  =  |^| { z  e.  On  |  x  C_  z } )
7574adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z }  =  |^| { z  e.  On  |  x  C_  z } )
7629adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  e.  On )
77 intmin 3882 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  On  ->  |^| { z  e.  On  |  x 
C_  z }  =  x )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  |^| { z  e.  On  |  x 
C_  z }  =  x )
7965, 75, 783eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( rank `  x )  =  x )
8063, 79jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) )
8180ex 423 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y )  ->  ( x  e. 
U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) ) )
8226, 81sylbid 206 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  dom  R1 
->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) ) )
8382com12 27 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  dom  R1  ->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( x  e.  dom  R1  ->  (
x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) ) )
8483a1i 10 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  dom  R1 
->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( x  e.  dom  R1  ->  (
x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) ) ) )
8513, 20, 84tfis3 4648 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  A )  =  A ) ) )
866, 85mpcom 32 1  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   |^|cint 3862   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394   dom cdm 4689   "cima 4692   Fun wfun 5249   ` cfv 5255   R1cr1 7434   rankcrnk 7435
This theorem is referenced by:  rankonid  7501  onwf  7502  onssr1  7503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-r1 7436  df-rank 7437
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