MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1b Structured version   Unicode version

Theorem rankr1b 7790
Description: A relationship between rank and  R1. See rankr1a 7762 for the membership version. (Contributed by NM, 15-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rankr1b.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankr1b  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  ( R1 `  B )  <->  ( rank `  A )  C_  B
) )

Proof of Theorem rankr1b
StepHypRef Expression
1 r1fnon 7693 . . . 4  |-  R1  Fn  On
2 fndm 5544 . . . 4  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  dom  R1  =  On
43eleq2i 2500 . 2  |-  ( B  e.  dom  R1  <->  B  e.  On )
5 rankr1b.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
6 unir1 7739 . . . 4  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
75, 6eleqtrri 2509 . . 3  |-  A  e. 
U. ( R1 " On )
8 rankr1bg 7729 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  ( A  C_  ( R1 `  B )  <-> 
( rank `  A )  C_  B ) )
97, 8mpan 652 . 2  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  ( A  C_  ( R1 `  B )  <->  ( rank `  A )  C_  B
) )
104, 9sylbir 205 1  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  ( R1 `  B )  <->  ( rank `  A )  C_  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   U.cuni 4015   Oncon0 4581   dom cdm 4878   "cima 4881    Fn wfn 5449   ` cfv 5454   R1cr1 7688   rankcrnk 7689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-reg 7560  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-r1 7690  df-rank 7691
  Copyright terms: Public domain W3C validator