MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1b Unicode version

Theorem rankr1b 7581
Description: A relationship between rank and  R1. See rankr1a 7553 for the membership version. (Contributed by NM, 15-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rankr1b.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankr1b  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  ( R1 `  B )  <->  ( rank `  A )  C_  B
) )

Proof of Theorem rankr1b
StepHypRef Expression
1 r1fnon 7484 . . . 4  |-  R1  Fn  On
2 fndm 5380 . . . 4  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  dom  R1  =  On
43eleq2i 2380 . 2  |-  ( B  e.  dom  R1  <->  B  e.  On )
5 rankr1b.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
6 unir1 7530 . . . 4  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
75, 6eleqtrri 2389 . . 3  |-  A  e. 
U. ( R1 " On )
8 rankr1bg 7520 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  ( A  C_  ( R1 `  B )  <-> 
( rank `  A )  C_  B ) )
97, 8mpan 651 . 2  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  ( A  C_  ( R1 `  B )  <->  ( rank `  A )  C_  B
) )
104, 9sylbir 204 1  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  ( R1 `  B )  <->  ( rank `  A )  C_  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   U.cuni 3864   Oncon0 4429   dom cdm 4726   "cima 4729    Fn wfn 5287   ` cfv 5292   R1cr1 7479   rankcrnk 7480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-reg 7351  ax-inf2 7387
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-r1 7481  df-rank 7482
  Copyright terms: Public domain W3C validator