Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1c Structured version   Unicode version

Theorem rankr1c 7739
 Description: A relationship between the rank function and the cumulative hierarchy of sets function . Proposition 9.15(2) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1c

Proof of Theorem rankr1c
StepHypRef Expression
1 id 20 . . . 4
2 rankdmr1 7719 . . . 4
31, 2syl6eqel 2523 . . 3
43a1i 11 . 2
5 elfvdm 5749 . . . . 5
6 r1funlim 7684 . . . . . . 7
76simpri 449 . . . . . 6
8 limsuc 4821 . . . . . 6
97, 8ax-mp 8 . . . . 5
105, 9sylibr 204 . . . 4
1211a1i 11 . 2
13 rankr1clem 7738 . . . . 5
14 rankr1ag 7720 . . . . . . 7
159, 14sylan2b 462 . . . . . 6
16 rankon 7713 . . . . . . 7
17 limord 4632 . . . . . . . . . 10
187, 17ax-mp 8 . . . . . . . . 9
19 ordelon 4597 . . . . . . . . 9
2018, 19mpan 652 . . . . . . . 8
2120adantl 453 . . . . . . 7
22 onsssuc 4661 . . . . . . 7
2316, 21, 22sylancr 645 . . . . . 6
2415, 23bitr4d 248 . . . . 5
2513, 24anbi12d 692 . . . 4
26 eqss 3355 . . . 4
2725, 26syl6rbbr 256 . . 3
2827ex 424 . 2
294, 12, 28pm5.21ndd 344 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wss 3312  cuni 4007   word 4572  con0 4573   wlim 4574   csuc 4575   cdm 4870  cima 4873   wfun 5440  cfv 5446  cr1 7680  crnk 7681 This theorem is referenced by:  rankidn  7740  rankpwi  7741  rankr1g  7750  r1tskina  8649 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-r1 7682  df-rank 7683
 Copyright terms: Public domain W3C validator