MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1clem Unicode version

Theorem rankr1clem 7579
Description: Lemma for rankr1c 7580. (Contributed by NM, 6-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1clem  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  ( -.  A  e.  ( R1 `  B
)  <->  B  C_  ( rank `  A ) ) )

Proof of Theorem rankr1clem
StepHypRef Expression
1 rankr1ag 7561 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  ( A  e.  ( R1 `  B
)  <->  ( rank `  A
)  e.  B ) )
21notbid 285 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  ( -.  A  e.  ( R1 `  B
)  <->  -.  ( rank `  A )  e.  B
) )
3 r1funlim 7525 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
43simpri 448 . . . . . 6  |-  Lim  dom  R1
5 limord 4530 . . . . . 6  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
64, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  Ord  dom  R1
7 ordelon 4495 . . . . 5  |-  ( ( Ord  dom  R1  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  B  e.  On )
86, 7mpan 651 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  B  e.  On )
98adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  B  e.  On )
10 rankon 7554 . . 3  |-  ( rank `  A )  e.  On
11 ontri1 4505 . . 3  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( rank `  A )  e.  On )  ->  ( B  C_  ( rank `  A
)  <->  -.  ( rank `  A )  e.  B
) )
129, 10, 11sylancl 643 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  ( B  C_  ( rank `  A )  <->  -.  ( rank `  A
)  e.  B ) )
132, 12bitr4d 247 1  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  ( -.  A  e.  ( R1 `  B
)  <->  B  C_  ( rank `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1710    C_ wss 3228   U.cuni 3906   Ord word 4470   Oncon0 4471   Lim wlim 4472   dom cdm 4768   "cima 4771   Fun wfun 5328   ` cfv 5334   R1cr1 7521   rankcrnk 7522
This theorem is referenced by:  rankr1c  7580  ssrankr1  7594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-r1 7523  df-rank 7524
  Copyright terms: Public domain W3C validator