MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1clem Structured version   Unicode version

Theorem rankr1clem 7775
Description: Lemma for rankr1c 7776. (Contributed by NM, 6-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1clem  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  ( -.  A  e.  ( R1 `  B
)  <->  B  C_  ( rank `  A ) ) )

Proof of Theorem rankr1clem
StepHypRef Expression
1 rankr1ag 7757 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  ( A  e.  ( R1 `  B
)  <->  ( rank `  A
)  e.  B ) )
21notbid 287 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  ( -.  A  e.  ( R1 `  B
)  <->  -.  ( rank `  A )  e.  B
) )
3 r1funlim 7721 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
43simpri 450 . . . . . 6  |-  Lim  dom  R1
5 limord 4669 . . . . . 6  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5  |-  Ord  dom  R1
7 ordelon 4634 . . . . 5  |-  ( ( Ord  dom  R1  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  B  e.  On )
86, 7mpan 653 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  B  e.  On )
98adantl 454 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  B  e.  On )
10 rankon 7750 . . 3  |-  ( rank `  A )  e.  On
11 ontri1 4644 . . 3  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( rank `  A )  e.  On )  ->  ( B  C_  ( rank `  A
)  <->  -.  ( rank `  A )  e.  B
) )
129, 10, 11sylancl 645 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  ( B  C_  ( rank `  A )  <->  -.  ( rank `  A
)  e.  B ) )
132, 12bitr4d 249 1  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  ( -.  A  e.  ( R1 `  B
)  <->  B  C_  ( rank `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1727    C_ wss 3306   U.cuni 4039   Ord word 4609   Oncon0 4610   Lim wlim 4611   dom cdm 4907   "cima 4910   Fun wfun 5477   ` cfv 5483   R1cr1 7717   rankcrnk 7718
This theorem is referenced by:  rankr1c  7776  ssrankr1  7790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-r1 7719  df-rank 7720
  Copyright terms: Public domain W3C validator