MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankss Structured version   Unicode version

Theorem rankss 7776
Description: The subset relation is inherited by the rank function. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rankss.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankss  |-  ( A 
C_  B  ->  ( rank `  A )  C_  ( rank `  B )
)

Proof of Theorem rankss
StepHypRef Expression
1 rankss.1 . . 3  |-  B  e. 
_V
2 unir1 7740 . . 3  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
31, 2eleqtrri 2510 . 2  |-  B  e. 
U. ( R1 " On )
4 rankssb 7775 . 2  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( A  C_  B  ->  ( rank `  A
)  C_  ( rank `  B ) ) )
53, 4ax-mp 8 1  |-  ( A 
C_  B  ->  ( rank `  A )  C_  ( rank `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   U.cuni 4016   Oncon0 4582   "cima 4882   ` cfv 5455   R1cr1 7689   rankcrnk 7690
This theorem is referenced by:  rankuni  7790  rankval4  7794  rankc2  7798  rankxpu  7803  rankxplim  7804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-reg 7561  ax-inf2 7597
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-r1 7691  df-rank 7692
  Copyright terms: Public domain W3C validator