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Theorem rankunb 7776
Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankunb  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )

Proof of Theorem rankunb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unwf 7736 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  <-> 
( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On ) )
2 rankval3b 7752 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  = 
|^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  y } )
31, 2sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  |^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x )  e.  y } )
43eleq2d 2503 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  x  e.  |^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x )  e.  y } ) )
5 vex 2959 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
65elintrab 4062 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  y }  <->  A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  y  ->  x  e.  y )
)
74, 6syl6bb 253 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  y  ->  x  e.  y )
) )
8 elun 3488 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
9 rankelb 7750 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( rank `  x
)  e.  ( rank `  A ) ) )
10 elun1 3514 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  ( rank `  A
)  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
119, 10syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
12 rankelb 7750 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  B  ->  ( rank `  x
)  e.  ( rank `  B ) ) )
13 elun2 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  ( rank `  B
)  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
1412, 13syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  B  ->  ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
1511, 14jaao 496 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
168, 15syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
1716ralrimiv 2788 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
18 rankon 7721 . . . . . . 7  |-  ( rank `  A )  e.  On
19 rankon 7721 . . . . . . 7  |-  ( rank `  B )  e.  On
2018, 19onun2i 4697 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  On
21 eleq2 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( ( rank `  x )  e.  y  <-> 
( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2221ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  y  <->  A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
23 eleq2 2497 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( x  e.  y  <->  x  e.  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
2422, 23imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x )  e.  y  ->  x  e.  y )  <->  ( A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  ->  x  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) ) )
2524rspcv 3048 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e.  On  ->  ( A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  y  ->  x  e.  y )  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  ->  x  e.  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) ) )
2620, 25ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  y  ->  x  e.  y )  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  ->  x  e.  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
2717, 26syl5com 28 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  y  ->  x  e.  y )  ->  x  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
287, 27sylbid 207 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  x  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2928ssrdv 3354 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
30 ssun1 3510 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
31 rankssb 7774 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( A  C_  ( A  u.  B )  ->  ( rank `  A
)  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
3230, 31mpi 17 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
33 ssun2 3511 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
34 rankssb 7774 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( B  C_  ( A  u.  B )  ->  ( rank `  B
)  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
3533, 34mpi 17 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  B )  C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3632, 35unssd 3523 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
371, 36sylbi 188 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) 
C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3829, 37eqssd 3365 1  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709    u. cun 3318    C_ wss 3320   U.cuni 4015   |^|cint 4050   Oncon0 4581   "cima 4881   ` cfv 5454   R1cr1 7688   rankcrnk 7689
This theorem is referenced by:  rankprb  7777  rankopb  7778  rankun  7782  rankaltopb  25824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-r1 7690  df-rank 7691
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