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Theorem rankuni 7580
Description: The rank of a union. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 15-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankuni  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)

Proof of Theorem rankuni
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 3873 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
21fveq2d 5567 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  U. x )  =  ( rank `  U. A ) )
3 fveq2 5563 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  A
) )
43unieqd 3875 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  U. ( rank `  x )  = 
U. ( rank `  A
) )
52, 4eqeq12d 2330 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  U. x )  =  U. ( rank `  x )  <->  ( rank ` 
U. A )  = 
U. ( rank `  A
) ) )
6 vex 2825 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
76rankuni2 7572 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  = 
U_ z  e.  x  ( rank `  z )
8 fvex 5577 . . . . . . 7  |-  ( rank `  z )  e.  _V
98dfiun2 3974 . . . . . 6  |-  U_ z  e.  x  ( rank `  z )  =  U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
) }
107, 9eqtri 2336 . . . . 5  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }
11 df-rex 2583 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
)  <->  E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
126rankel 7556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  x  ->  ( rank `  z )  e.  ( rank `  x
) )
1312anim1i 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z ) )  -> 
( ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
1413eximi 1567 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) )  ->  E. z
( ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
15 19.42v 1877 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
)  <->  ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  E. z 
y  =  ( rank `  z ) ) )
16 eleq1 2376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( rank `  z
)  ->  ( y  e.  ( rank `  x
)  <->  ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x ) ) )
1716pm5.32ri 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) )  <->  ( ( rank `  z )  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
) )
1817exbii 1573 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
)  <->  E. z ( (
rank `  z )  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
) )
19 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  E. z  y  =  ( rank `  z ) )  ->  y  e.  (
rank `  x )
)
20 rankon 7512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( rank `  x )  e.  On
2120oneli 4537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  e.  On )
22 r1fnon 7484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R1  Fn  On
23 fndm 5380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  R1  =  On
2521, 24syl6eleqr 2407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  e.  dom  R1 )
26 rankr1id 7579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  dom  R1  <->  ( rank `  ( R1 `  y
) )  =  y )
2725, 26sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  ( rank `  ( R1 `  y
) )  =  y )
2827eqcomd 2321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) )
29 fvex 5577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  y )  e. 
_V
30 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R1 `  y )  ->  ( rank `  z )  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) )
3130eqeq2d 2327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( R1 `  y )  ->  (
y  =  ( rank `  z )  <->  y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) ) )
3229, 31spcev 2909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) )  ->  E. z  y  =  ( rank `  z
) )
3328, 32syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  E. z 
y  =  ( rank `  z ) )
3433ancli 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  E. z 
y  =  ( rank `  z ) ) )
3519, 34impbii 180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  E. z  y  =  ( rank `  z ) )  <-> 
y  e.  ( rank `  x ) )
3615, 18, 353bitr3i 266 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( ( rank `  z )  e.  (
rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z ) )  <-> 
y  e.  ( rank `  x ) )
3714, 36sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) )  ->  y  e.  ( rank `  x
) )
3811, 37sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
)  ->  y  e.  ( rank `  x )
)
3938abssi 3282 . . . . . 6  |-  { y  |  E. z  e.  x  y  =  (
rank `  z ) }  C_  ( rank `  x
)
40 uniss 3885 . . . . . 6  |-  ( { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }  C_  ( rank `  x
)  ->  U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  (
rank `  z ) }  C_  U. ( rank `  x ) )
4139, 40ax-mp 8 . . . . 5  |-  U. {
y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }  C_  U. ( rank `  x )
4210, 41eqsstri 3242 . . . 4  |-  ( rank `  U. x )  C_  U. ( rank `  x
)
43 pwuni 4243 . . . . . . . 8  |-  x  C_  ~P U. x
446uniex 4553 . . . . . . . . . 10  |-  U. x  e.  _V
4544pwex 4230 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. x  e.  _V
4645rankss 7566 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ~P U. x  -> 
( rank `  x )  C_  ( rank `  ~P U. x ) )
4743, 46ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( rank `  x )  C_  ( rank `  ~P U. x
)
4844rankpw 7560 . . . . . . 7  |-  ( rank `  ~P U. x )  =  suc  ( rank `  U. x )
4947, 48sseqtri 3244 . . . . . 6  |-  ( rank `  x )  C_  suc  ( rank `  U. x )
50 uniss 3885 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  x )  C_ 
suc  ( rank `  U. x )  ->  U. ( rank `  x )  C_  U.
suc  ( rank `  U. x ) )
5149, 50ax-mp 8 . . . . 5  |-  U. ( rank `  x )  C_  U.
suc  ( rank `  U. x )
52 rankon 7512 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  e.  On
5352onunisuci 4543 . . . . 5  |-  U. suc  ( rank `  U. x )  =  ( rank `  U. x )
5451, 53sseqtri 3244 . . . 4  |-  U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. x )
5542, 54eqssi 3229 . . 3  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. ( rank `  x
)
565, 55vtoclg 2877 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( rank `  U. A )  =  U. ( rank `  A ) )
57 uniexb 4600 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
58 fvprc 5557 . . . . 5  |-  ( -. 
U. A  e.  _V  ->  ( rank `  U. A )  =  (/) )
5957, 58sylnbi 297 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  (/) )
60 uni0 3891 . . . 4  |-  U. (/)  =  (/)
6159, 60syl6eqr 2366 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  U. (/) )
62 fvprc 5557 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  A )  =  (/) )
6362unieqd 3875 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. ( rank `  A
)  =  U. (/) )
6461, 63eqtr4d 2351 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  U. ( rank `  A ) )
6556, 64pm2.61i 156 1  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701   {cab 2302   E.wrex 2578   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864   U_ciun 3942   Oncon0 4429   suc csuc 4431   dom cdm 4726    Fn wfn 5287   ` cfv 5292   R1cr1 7479   rankcrnk 7480
This theorem is referenced by:  rankuniss  7583  rankbnd2  7586  rankxplim2  7595  rankxplim3  7596  rankxpsuc  7597  r1limwun  8403  hfuni  25200
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-reg 7351  ax-inf2 7387
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-r1 7481  df-rank 7482
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