Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval4 Unicode version

Theorem rankval4 7539
 Description: The rank of a set is the supremum of the successors of the ranks of its members. Exercise 9.1 of [Jech] p. 72. Also a special case of Theorem 7V(b) of [Enderton] p. 204. (Contributed by NM, 12-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
rankr1b.1
Assertion
Ref Expression
rankval4
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem rankval4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2419 . . . . . 6
2 nfcv 2419 . . . . . . 7
3 nfiu1 3933 . . . . . . 7
42, 3nffv 5532 . . . . . 6
51, 4dfss2f 3171 . . . . 5
6 vex 2791 . . . . . . 7
76rankid 7505 . . . . . 6
8 ssiun2 3945 . . . . . . . 8
9 rankon 7467 . . . . . . . . . 10
109onsuci 4629 . . . . . . . . 9
11 rankr1b.1 . . . . . . . . . 10
1210rgenw 2610 . . . . . . . . . 10
13 iunon 6355 . . . . . . . . . 10
1411, 12, 13mp2an 653 . . . . . . . . 9
15 r1ord3 7454 . . . . . . . . 9
1610, 14, 15mp2an 653 . . . . . . . 8
178, 16syl 15 . . . . . . 7
1817sseld 3179 . . . . . 6
197, 18mpi 16 . . . . 5
205, 19mpgbir 1537 . . . 4
21 fvex 5539 . . . . 5
2221rankss 7521 . . . 4
2320, 22ax-mp 8 . . 3
24 r1ord3 7454 . . . . . . 7
2514, 24mpan 651 . . . . . 6
2625ss2rabi 3255 . . . . 5
27 intss 3883 . . . . 5
2826, 27ax-mp 8 . . . 4
29 rankval2 7490 . . . . 5
3021, 29ax-mp 8 . . . 4
31 intmin 3882 . . . . . 6
3214, 31ax-mp 8 . . . . 5
3332eqcomi 2287 . . . 4
3428, 30, 333sstr4i 3217 . . 3
3523, 34sstri 3188 . 2
36 iunss 3943 . . 3
3711rankel 7511 . . . 4
38 rankon 7467 . . . . 5
399, 38onsucssi 4632 . . . 4
4037, 39sylib 188 . . 3
4136, 40mprgbir 2613 . 2
4235, 41eqssi 3195 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  crab 2547  cvv 2788   wss 3152  cint 3862  ciun 3905  con0 4392   csuc 4394  cfv 5255  cr1 7434  crnk 7435 This theorem is referenced by:  rankbnd  7540  rankc1  7542 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-r1 7436  df-rank 7437
 Copyright terms: Public domain W3C validator