Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankwflemb Structured version   Unicode version

Theorem rankwflemb 7711
 Description: Two ways of saying a set is well-founded. (Contributed by NM, 11-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankwflemb
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem rankwflemb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni 4010 . . 3
2 r1funlim 7684 . . . . . . . 8
32simpli 445 . . . . . . 7
4 fvelima 5770 . . . . . . 7
53, 4mpan 652 . . . . . 6
6 eleq2 2496 . . . . . . . . 9
76biimprcd 217 . . . . . . . 8
8 r1tr 7694 . . . . . . . . . . . 12
9 trss 4303 . . . . . . . . . . . 12
108, 9ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
11 elpwg 3798 . . . . . . . . . . 11
1210, 11mpbird 224 . . . . . . . . . 10
13 elfvdm 5749 . . . . . . . . . . 11
14 r1sucg 7687 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10
1612, 15eleqtrrd 2512 . . . . . . . . 9
1716a1i 11 . . . . . . . 8
187, 17syl9 68 . . . . . . 7
1918reximdvai 2808 . . . . . 6
205, 19syl5 30 . . . . 5
2120imp 419 . . . 4
2221exlimiv 1644 . . 3
231, 22sylbi 188 . 2
24 elfvdm 5749 . . . . . 6
25 fvelrn 5858 . . . . . 6
263, 24, 25sylancr 645 . . . . 5
27 df-ima 4883 . . . . . 6
28 funrel 5463 . . . . . . . . 9
293, 28ax-mp 8 . . . . . . . 8
302simpri 449 . . . . . . . . 9
31 limord 4632 . . . . . . . . 9
32 ordsson 4762 . . . . . . . . 9
3330, 31, 32mp2b 10 . . . . . . . 8
34 relssres 5175 . . . . . . . 8
3529, 33, 34mp2an 654 . . . . . . 7
3635rneqi 5088 . . . . . 6
3727, 36eqtri 2455 . . . . 5
3826, 37syl6eleqr 2526 . . . 4
39 elunii 4012 . . . 4
4038, 39mpdan 650 . . 3
4140rexlimivw 2818 . 2
4223, 41impbii 181 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698   wss 3312  cpw 3791  cuni 4007   wtr 4294   word 4572  con0 4573   wlim 4574   csuc 4575   cdm 4870   crn 4871   cres 4872  cima 4873   wrel 4875   wfun 5440  cfv 5446  cr1 7680 This theorem is referenced by:  rankf  7712  r1elwf  7714  rankvalb  7715  rankidb  7718  rankwflem  7733  tcrank  7800  dfac12r  8018 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-r1 7682
 Copyright terms: Public domain W3C validator