MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankxpl Unicode version

Theorem rankxpl 7547
Description: A lower bound on the rank of a cross product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxpl.1  |-  A  e. 
_V
rankxpl.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxpl  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )

Proof of Theorem rankxpl
StepHypRef Expression
1 unixp 5205 . . 3  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
21fveq2d 5529 . 2  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank ` 
U. U. ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3 rankxpl.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
4 rankxpl.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
53, 4xpex 4801 . . . . . 6  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
65uniex 4516 . . . . 5  |-  U. ( A  X.  B )  e. 
_V
76rankuniss 7538 . . . 4  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) ) 
C_  ( rank `  U. ( A  X.  B
) )
85rankuniss 7538 . . . 4  |-  ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) )
97, 8sstri 3188 . . 3  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) ) 
C_  ( rank `  ( A  X.  B ) )
109a1i 10 . 2  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank ` 
U. U. ( A  X.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
112, 10eqsstr3d 3213 1  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827    X. cxp 4687   ` cfv 5255   rankcrnk 7435
This theorem is referenced by:  rankxplim  7549
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-r1 7436  df-rank 7437
  Copyright terms: Public domain W3C validator