MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankxpl Unicode version

Theorem rankxpl 7728
Description: A lower bound on the rank of a cross product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxpl.1  |-  A  e. 
_V
rankxpl.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxpl  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )

Proof of Theorem rankxpl
StepHypRef Expression
1 unixp 5336 . . 3  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
21fveq2d 5666 . 2  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank ` 
U. U. ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3 rankxpl.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
4 rankxpl.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
53, 4xpex 4924 . . . . 5  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
65uniex 4639 . . . 4  |-  U. ( A  X.  B )  e. 
_V
76rankuniss 7719 . . 3  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) ) 
C_  ( rank `  U. ( A  X.  B
) )
85rankuniss 7719 . . 3  |-  ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) )
97, 8sstri 3294 . 2  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) ) 
C_  ( rank `  ( A  X.  B ) )
102, 9syl6eqssr 3336 1  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717    =/= wne 2544   _Vcvv 2893    u. cun 3255    C_ wss 3257   (/)c0 3565   U.cuni 3951    X. cxp 4810   ` cfv 5388   rankcrnk 7616
This theorem is referenced by:  rankxplim  7730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-reg 7487  ax-inf2 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-r1 7617  df-rank 7618
  Copyright terms: Public domain W3C validator