MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankxpl Structured version   Unicode version

Theorem rankxpl 7793
Description: A lower bound on the rank of a cross product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxpl.1  |-  A  e. 
_V
rankxpl.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxpl  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )

Proof of Theorem rankxpl
StepHypRef Expression
1 unixp 5394 . . 3  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
21fveq2d 5724 . 2  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank ` 
U. U. ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3 rankxpl.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
4 rankxpl.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
53, 4xpex 4982 . . . . 5  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
65uniex 4697 . . . 4  |-  U. ( A  X.  B )  e. 
_V
76rankuniss 7784 . . 3  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) ) 
C_  ( rank `  U. ( A  X.  B
) )
85rankuniss 7784 . . 3  |-  ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) )
97, 8sstri 3349 . 2  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) ) 
C_  ( rank `  ( A  X.  B ) )
102, 9syl6eqssr 3391 1  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    =/= wne 2598   _Vcvv 2948    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U.cuni 4007    X. cxp 4868   ` cfv 5446   rankcrnk 7681
This theorem is referenced by:  rankxplim  7795
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-reg 7552  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-r1 7682  df-rank 7683
  Copyright terms: Public domain W3C validator