Theorem rankxplim 4712

Description: The rank of a cross product when the rank of the union of its arguments is a limit ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxpsuc 4715 for the successor case.

Hypotheses

Ref	Expression
rankxplim.1	|- A e. V
rankxplim.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
rankxplim	|- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (A X. B) =/= (/)) -> (rank` (A X. B)) = (rank` (A u. B)))

Proof of Theorem rankxplim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1813	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. V
2		visset 1813	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. V
3		rankxplim.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. V
4		rankxplim.2	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. V
5	1, 2, 3, 4	rankelun 4707	. . . . . . . . . . 11 |- (((rank` x) e. (rank` A) /\ (rank` y) e. (rank` B)) -> (rank` (x u. y)) e. (rank` (A u. B)))
6	3	rankel 4680	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. A -> (rank` x) e. (rank` A))
7	4	rankel 4680	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. B -> (rank` y) e. (rank` B))
8	5, 6, 7	syl2an 454	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. A /\ y e. B) -> (rank` (x u. y)) e. (rank` (A u. B)))
9	8	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (rank` (x u. y)) e. (rank` (A u. B)))
10		ranklim 4685	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim (rank` (A u. B)) -> ((rank` (x u. y)) e. (rank` (A u. B)) <-> (rank` P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B))))
11		ranklim 4685	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim (rank` (A u. B)) -> ((rank` P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B)) <-> (rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B))))
12	10, 11	bitrd 528	. . . . . . . . . 10 |- (Lim (rank` (A u. B)) -> ((rank` (x u. y)) e. (rank` (A u. B)) <-> (rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B))))
13	12	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> ((rank` (x u. y)) e. (rank` (A u. B)) <-> (rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B))))
14	9, 13	mpbid 195	. . . . . . . 8 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B)))
15		pwuni 2757	. . . . . . . . . . . 12 |- <.x, y>. (_ P~U.<.x, y>.
16		uniop 2808	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.<.x, y>. = {x, y}
17		pweq 2403	. . . . . . . . . . . . 13 |- (U.<.x, y>. = {x, y} -> P~U.<.x, y>. = P~{x, y})
18	16, 17	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- P~U.<.x, y>. = P~{x, y}
19	15, 18	sseqtr 2093	. . . . . . . . . . 11 |- <.x, y>. (_ P~{x, y}
20		pwuni 2757	. . . . . . . . . . . . 13 |- {x, y} (_ P~U.{x, y}
21	1, 2	unipr 2515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.{x, y} = (x u. y)
22		pweq 2403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (U.{x, y} = (x u. y) -> P~U.{x, y} = P~(x u. y))
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- P~U.{x, y} = P~(x u. y)
24	20, 23	sseqtr 2093	. . . . . . . . . . . 12 |- {x, y} (_ P~(x u. y)
25		sspwb 2755	. . . . . . . . . . . 12 |- ({x, y} (_ P~(x u. y) <-> P~{x, y} (_ P~P~(x u. y))
26	24, 25	mpbi 189	. . . . . . . . . . 11 |- P~{x, y} (_ P~P~(x u. y)
27	19, 26	sstri 2073	. . . . . . . . . 10 |- <.x, y>. (_ P~P~(x u. y)
28	1, 2	unex 2872	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x u. y) e. V
29	28	pwex 2745	. . . . . . . . . . . 12 |- P~(x u. y) e. V
30	29	pwex 2745	. . . . . . . . . . 11 |- P~P~(x u. y) e. V
31	30	rankss 4688	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. (_ P~P~(x u. y) -> (rank` <.x, y>.) (_ (rank` P~P~(x u. y)))
32	27, 31	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (rank` <.x, y>.) (_ (rank` P~P~(x u. y))
33		rankon 4671	. . . . . . . . . 10 |- (rank` <.x, y>.) e. On
34		rankon 4671	. . . . . . . . . 10 |- (rank` (A u. B)) e. On
35		ontr2 3004	. . . . . . . . . 10 |- (((rank` <.x, y>.) e. On /\ (rank` (A u. B)) e. On) -> (((rank` <.x, y>.) (_ (rank` P~P~(x u. y)) /\ (rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B))) -> (rank` <.x, y>.) e. (rank` (A u. B))))
36	33, 34, 35	mp2an 697	. . . . . . . . 9 |- (((rank` <.x, y>.) (_ (rank` P~P~(x u. y)) /\ (rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B))) -> (rank` <.x, y>.) e. (rank` (A u. B)))
37	32, 36	mpan 695	. . . . . . . 8 |- ((rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B)) -> (rank` <.x, y>.) e. (rank` (A u. B)))
38	14, 37	syl 10	. . . . . . 7 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (rank` <.x, y>.) e. (rank` (A u. B)))
39	33, 34	onsucss 3111	. . . . . . 7 |- ((rank` <.x, y>.) e. (rank` (A u. B)) <-> suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B)))
40	38, 39	sylib 198	. . . . . 6 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B)))
41	40	ex 373	. . . . 5 |- (Lim (rank` (A u. B)) -> ((x e. A /\ y e. B) -> suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B))))
42	41	r19.21aivv 1720	. . . 4 |- (Lim (rank` (A u. B)) -> A.x e. A A.y e. B suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B)))
43		fveq2 3724	. . . . . . . 8 |- (z = <.x, y>. -> (rank` z) = (rank` <.x, y>.))
44		suceq 3034	. . . . . . . 8 |- ((rank` z) = (rank` <.x, y>.) -> suc (rank` z) = suc (rank` <.x, y>.))
45	43, 44	syl 10	. . . . . . 7 |- (z = <.x, y>. -> suc (rank` z) = suc (rank` <.x, y>.))
46	45	sseq1d 2088	. . . . . 6 |- (z = <.x, y>. -> (suc (rank` z) (_ (rank` (A u. B)) <-> suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B))))
47	46	ralxp 3218	. . . . 5 |- (A.z e. (A X. B)suc (rank` z) (_ (rank` (A u. B)) <-> A.x e. A A.y e. B suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B)))
48	3, 4	xpex 3260	. . . . . 6 |- (A X. B) e. V
49	48	rankbnd 4703	. . . . 5 |- (A.z e. (A X. B)suc (rank` z) (_ (rank` (A u. B)) <-> (rank` (A X. B)) (_ (rank` (A u. B)))
50	47, 49	bitr3 175	. . . 4 |- (A.x e. A A.y e. B suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B)) <-> (rank` (A X. B)) (_ (rank` (A u. B)))
51	42, 50	sylib 198	. . 3 |- (Lim (rank` (A u. B)) -> (rank` (A X. B)) (_ (rank` (A u. B)))
52	51	adantr 389	. 2 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (A X. B) =/= (/)) -> (rank` (A X. B)) (_ (rank` (A u. B)))
53	3, 4	rankxpl 4710	. . 3 |- ((A X. B) =/= (/) -> (rank` (A u. B)) (_ (rank` (A X. B)))
54	53	adantl 388	. 2 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (A X. B) =/= (/)) -> (rank` (A u. B)) (_ (rank` (A X. B)))
55	52, 54	eqssd 2079	1 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (A X. B) =/= (/)) -> (rank` (A X. B)) = (rank` (A u. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  Vcvv 1811   u. cun 2045   (_ wss 2047  (/)c0 2280  P~cpw 2401  {cpr 2410  <.cop 2411  U.cuni 2503  Oncon0 2948  Lim wlim 2949  suc csuc 2950   X. cxp 3168  ` cfv 3182  rankcrnk 4642

This theorem is referenced by:  rankxplim3 4714

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-r1 4643  df-rank 4644

Copyright terms: Public domain