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Theorem rankxplim3 7738
Description: The rank of a cross product is a limit ordinal iff its union is. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1  |-  A  e. 
_V
rankxplim.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxplim3  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )

Proof of Theorem rankxplim3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limuni2 4583 . 2  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
2 0ellim 4584 . . . 4  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  (/)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
3 n0i 3576 . . . 4  |-  ( (/)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  -.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
4 unieq 3966 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. (/) )
5 uni0 3984 . . . . . 6  |-  U. (/)  =  (/)
64, 5syl6eq 2435 . . . . 5  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
76con3i 129 . . . 4  |-  ( -. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
82, 3, 73syl 19 . . 3  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  -.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/) )
9 rankon 7654 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On
109onsuci 4758 . . . . . . . . 9  |-  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e.  On
1110onsuci 4758 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e.  On
1211elexi 2908 . . . . . . 7  |-  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
1312sucid 4601 . . . . . 6  |-  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )
1411onsuci 4758 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  On
15 ontri1 4556 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On  /\ 
suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  On )  ->  ( suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  -.  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
1614, 11, 15mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( suc 
suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  -.  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
1716con2bii 323 . . . . . 6  |-  ( suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  -.  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
1813, 17mpbi 200 . . . . 5  |-  -.  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )
19 rankxplim.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
20 rankxplim.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2119, 20rankxpu 7735 . . . . . 6  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
22 sstr 3299 . . . . . 6  |-  ( ( suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) )  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
) )  ->  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
2321, 22mpan2 653 . . . . 5  |-  ( suc 
suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  ( rank `  ( A  X.  B
) )  ->  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
2418, 23mto 169 . . . 4  |-  -.  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  ( rank `  ( A  X.  B
) )
25 reeanv 2818 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  E. y  e.  On  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  <->  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )
26 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x
)
27 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )
28 rankuni 7722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )
29 rankuni 7722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  = 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
3029unieqi 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
3128, 30eqtri 2407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
32 df-ne 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  ( A  X.  B )  =  (/) )
3319, 20xpex 4930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
3433rankeq0 7720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
3534notbii 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  ( A  X.  B
)  =  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
3632, 35bitr2i 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  <->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
378, 36sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
38 unixp 5342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
4039fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  U. U. ( A  X.  B
) )  =  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
4131, 40syl5reqr 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
42 eqimss 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  = 
U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4527, 44eqsstr3d 3326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  ->  suc  x  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4645adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  x  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
47 limuni 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4847adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4946, 48sseqtr4d 3328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  x  C_  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
50 vex 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
51 rankon 7654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  e.  On
5251onordi 4626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )
53 orduni 4714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5452, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
55 ordelsuc 4740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  ->  ( x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  x  C_  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
5650, 54, 55mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  <->  suc  x  C_  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5749, 56sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
58 limsuc 4769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( x  e. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
5958adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( x  e. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6057, 59mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6126, 60eqeltrd 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
62 limsuc 4769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6362adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6461, 63mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
65 ordsucelsuc 4742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6654, 65ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6764, 66sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
68 onsucuni2 4754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6951, 68mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7069ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7167, 70eleqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  (
rank `  ( A  X.  B ) ) )
7211, 51onsucssi 4761 . . . . . . . . 9  |-  ( suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  <->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7371, 72sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7473ex 424 . . . . . . 7  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
7574a1d 23 . . . . . 6  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
7675rexlimdvv 2779 . . . . 5  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( E. x  e.  On  E. y  e.  On  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
7725, 76syl5bir 210 . . . 4  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
7824, 77mtoi 171 . . 3  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )
79 ianor 475 . . . . . 6  |-  ( -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  <->  ( -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  \/  -.  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )
80 un00 3606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  <->  ( A  u.  B )  =  (/) )
81 olc 374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
8281adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
8380, 82sylbir 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  B )  =  (/)  ->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
84 xpeq0 5233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
8583, 84sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  u.  B )  =  (/)  ->  ( A  X.  B )  =  (/) )
8685con3i 129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( A  X.  B
)  =  (/)  ->  -.  ( A  u.  B
)  =  (/) )
8735, 86sylbir 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  -.  ( A  u.  B )  =  (/) )
8819, 20unex 4647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
8988rankeq0 7720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  =  (/)  <->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  (/) )
9089notbii 288 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( A  u.  B
)  =  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  (/) )
9187, 90sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  -.  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  (/) )
929onordi 4626 . . . . . . . . . . 11  |-  Ord  ( rank `  ( A  u.  B ) )
93 ordzsl 4765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
9492, 93mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
95943ori 1244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  (/)  /\  -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
9691, 95sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
9796ex 424 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( -. 
E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
98 ordzsl 4765 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
9952, 98mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
100993ori 1244 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
101100ex 424 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( -. 
E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
10297, 101orim12d 812 . . . . . 6  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( ( -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  \/  -.  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) )  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
10379, 102syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  -> 
( Lim  ( rank `  ( A  u.  B
) )  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
104103imp 419 . . . 4  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) )  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
105 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
10634necon3abii 2580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/) )
10719, 20rankxplim 7736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
108106, 107sylan2br 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
109 limeq 4534 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) ) )
111105, 110mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
112111expcom 425 . . . . . 6  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
113 idd 22 . . . . . 6  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
114112, 113jaod 370 . . . . 5  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
115114adantr 452 . . . 4  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
116104, 115mpd 15 . . 3  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
1178, 78, 116syl2anc 643 . 2  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
1181, 117impbii 181 1  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   E.wrex 2650   _Vcvv 2899    u. cun 3261    C_ wss 3263   (/)c0 3571   U.cuni 3957   Ord word 4521   Oncon0 4522   Lim wlim 4523   suc csuc 4524    X. cxp 4816   ` cfv 5394   rankcrnk 7622
This theorem is referenced by:  rankxpsuc  7739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-reg 7493  ax-inf2 7529
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-r1 7623  df-rank 7624
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