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Theorem rankxpsuc 7808
Description: The rank of a cross product when the rank of the union of its arguments is a successor ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxplim 7805 for the limit ordinal case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1  |-  A  e. 
_V
rankxplim.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxpsuc  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )

Proof of Theorem rankxpsuc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankuni 7791 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )
2 rankuni 7791 . . . . . . . . 9  |-  ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  = 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
32unieqi 4027 . . . . . . . 8  |-  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
41, 3eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
5 unixp 5404 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
65fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank ` 
U. U. ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
74, 6syl5reqr 2485 . . . . . 6  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
8 suc11reg 7576 . . . . . 6  |-  ( suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  = 
U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
97, 8sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  suc  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
109adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
11 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  _V
12 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
_V 
<->  suc  C  e.  _V ) )
1311, 12mpbii 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  suc  C  e.  _V )
14 sucexb 4791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  _V  <->  suc  C  e. 
_V )
1513, 14sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  C  e.  _V )
16 nlimsucg 4824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  _V  ->  -.  Lim  suc  C )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  suc  C )
18 limeq 4595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  Lim  suc  C )
)
1917, 18mtbird 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
20 rankxplim.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
21 rankxplim.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
2220, 21rankxplim2 7806 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
2319, 22nsyl 116 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
2420, 21xpex 4992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
2524rankeq0 7789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
2625necon3abii 2633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/) )
27 rankon 7723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  e.  On
2827onordi 4688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )
29 ordzsl 4827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3028, 29mpbi 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
31 3orass 940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  <->  ( ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
3230, 31mpbi 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3332ori 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3426, 33sylbi 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3534ord 368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3635con1d 119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x ) )
3723, 36syl5com 29 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  (
( A  X.  B
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x ) )
38 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
39 nlimsucg 4824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  _V  ->  -.  Lim  suc  x )
4038, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  Lim  suc  x
41 limeq 4595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  suc  x ) )
4240, 41mtbiri 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4342rexlimivw 2828 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4420, 21rankxplim3 7807 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4543, 44sylnib 297 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  -.  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4637, 45syl6com 34 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
47 unixp0 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  U. ( A  X.  B )  =  (/) )
4824uniex 4707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( A  X.  B )  e. 
_V
4948rankeq0 7789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ( A  X.  B
)  =  (/)  <->  ( rank ` 
U. ( A  X.  B ) )  =  (/) )
502eqeq1i 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank `  U. ( A  X.  B ) )  =  (/)  <->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
5147, 49, 503bitri 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
5251necon3abii 2633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
53 onuni 4775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On )
5427, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On
5554onordi 4688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
56 ordzsl 4827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
5755, 56mpbi 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
58 3orass 940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  <-> 
( U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
5957, 58mpbi 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6059ori 366 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6152, 60sylbi 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6261ord 368 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6362con1d 119 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x ) )
6446, 63syld 43 . . . . . 6  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x ) )
6564impcom 421 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )
66 onsucuni2 4816 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  /\  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )  ->  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6754, 66mpan 653 . . . . . 6  |-  ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
6867rexlimivw 2828 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
6965, 68syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7010, 69eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
71 suc11reg 7576 . . 3  |-  ( suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7270, 71sylibr 205 . 2  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7337imp 420 . . 3  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )
74 onsucuni2 4816 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7527, 74mpan 653 . . . 4  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7675rexlimivw 2828 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7773, 76syl 16 . 2  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7872, 77eqtr2d 2471 1  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    \/ w3o 936    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    u. cun 3320   (/)c0 3630   U.cuni 4017   Ord word 4582   Oncon0 4583   Lim wlim 4584   suc csuc 4585    X. cxp 4878   ` cfv 5456   rankcrnk 7691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-reg 7562  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-r1 7692  df-rank 7693
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