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Theorem ranncnt 25386
Description: Range of the intersection of the inclusion with a square cross product. (Contributed by FL, 6-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
ranncnt.1  |-  C  =  { <. x ,  y
>.  |  x  C_  y }
Assertion
Ref Expression
ranncnt  |-  ran  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)

Proof of Theorem ranncnt
StepHypRef Expression
1 ranncnt.1 . . . 4  |-  C  =  { <. x ,  y
>.  |  x  C_  y }
2 df-xp 4711 . . . 4  |-  ( A  X.  A )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) }
31, 2ineq12i 3381 . . 3  |-  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  x 
C_  y }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) } )
43rneqi 4921 . 2  |-  ran  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ran  ( { <. x ,  y >.  |  x 
C_  y }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) } )
5 incom 3374 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  x  C_  y }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) } )  =  ( { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  x  C_  y } )
6 inopab 4832 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  x  C_  y } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  x  C_  y
) }
75, 6eqtri 2316 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  x  C_  y }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  x  C_  y ) }
87rneqi 4921 . 2  |-  ran  ( { <. x ,  y
>.  |  x  C_  y }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) } )  =  ran  {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  x  C_  y ) }
9 df-rn 4716 . . 3  |-  ran  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  x  C_  y ) }  =  dom  `' { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  x  C_  y ) }
10 cnvopab 5099 . . . 4  |-  `' { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  x  C_  y ) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  x  C_  y ) }
1110dmeqi 4896 . . 3  |-  dom  `' { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  x  C_  y ) }  =  dom  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  x  C_  y ) }
12 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  x  C_  y
)  ->  y  e.  A )
13 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  x  C_  y
)  ->  x  e.  A )
14 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  x  C_  y
)  ->  x  C_  y
)
1513, 14jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  x  C_  y
)  ->  ( x  e.  A  /\  x  C_  y ) )
1612, 15jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  x  C_  y
)  ->  ( y  e.  A  /\  (
x  e.  A  /\  x  C_  y ) ) )
17 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  x  C_  y ) )  ->  x  e.  A )
18 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  x  C_  y ) )  ->  y  e.  A )
1917, 18jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  x  C_  y ) )  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )
20 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  x  C_  y ) )  ->  x  C_  y
)
2119, 20jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  x  C_  y ) )  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  x  C_  y ) )
2216, 21impbii 180 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  x  C_  y
)  <->  ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  x  C_  y ) ) )
2322opabbii 4099 . . . . 5  |-  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  x  C_  y
) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  x  C_  y ) ) }
2423dmeqi 4896 . . . 4  |-  dom  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  x  C_  y ) }  =  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  x  C_  y ) ) }
25 ssid 3210 . . . . . . 7  |-  y  C_  y
26 sseq1 3212 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  y  <->  y  C_  y ) )
2726rspcev 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  C_  y )  ->  E. x  e.  A  x  C_  y )
2827ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  y  /\  y  e.  A )  ->  E. x  e.  A  x  C_  y )
29 df-rex 2562 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  x 
C_  y  <->  E. x
( x  e.  A  /\  x  C_  y ) )
3028, 29sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  y  /\  y  e.  A )  ->  E. x ( x  e.  A  /\  x  C_  y ) )
3125, 30mpan 651 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  E. x
( x  e.  A  /\  x  C_  y ) )
3231rgen 2621 . . . . 5  |-  A. y  e.  A  E. x
( x  e.  A  /\  x  C_  y )
33 dmopab3 4907 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  E. x ( x  e.  A  /\  x  C_  y )  <->  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  x  C_  y ) ) }  =  A )
3432, 33mpbi 199 . . . 4  |-  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  x  C_  y ) ) }  =  A
3524, 34eqtri 2316 . . 3  |-  dom  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  x  C_  y ) }  =  A
369, 11, 353eqtri 2320 . 2  |-  ran  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  x  C_  y ) }  =  A
374, 8, 363eqtri 2320 1  |-  ran  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {copab 4092    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706
This theorem is referenced by:  toplat  25393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716
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