MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  re2ndc Unicode version

Theorem re2ndc 18696
Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
re2ndc  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  2ndc

Proof of Theorem re2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . 3  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  =  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
21tgqioo 18695 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
3 qtopbas 18657 . . 3  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
4 omelon 7527 . . . . . 6  |-  om  e.  On
5 qnnen 12733 . . . . . . . . 9  |-  QQ  ~~  NN
6 xpen 7199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
75, 5, 6mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
8 xpnnen 12728 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
97, 8entri 7090 . . . . . . 7  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
10 nnenom 11239 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
119, 10entr2i 7091 . . . . . 6  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
12 isnumi 7759 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
134, 11, 12mp2an 654 . . . . 5  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
14 ioof 10927 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
15 ffun 5526 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  (,)
17 qssre 10509 . . . . . . . . 9  |-  QQ  C_  RR
18 ressxr 9055 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
1917, 18sstri 3293 . . . . . . . 8  |-  QQ  C_  RR*
20 xpss12 4914 . . . . . . . 8  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
2119, 19, 20mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2214fdmi 5529 . . . . . . 7  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2321, 22sseqtr4i 3317 . . . . . 6  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
24 fores 5595 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
2516, 23, 24mp2an 654 . . . . 5  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
26 fodomnum 7864 . . . . 5  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
2713, 25, 26mp2 9 . . . 4  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
289, 10entri 7090 . . . 4  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  om
29 domentr 7095 . . . 4  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  om )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om )
3027, 28, 29mp2an 654 . . 3  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om
31 2ndci 17425 . . 3  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om )  ->  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  e. 
2ndc )
323, 30, 31mp2an 654 . 2  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  e.  2ndc
332, 32eqeltri 2450 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  2ndc
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   class class class wbr 4146   Oncon0 4515   omcom 4778    X. cxp 4809   dom cdm 4811   ran crn 4812    |` cres 4813   "cima 4814   Fun wfun 5381   -->wf 5383   -onto->wfo 5385   ` cfv 5387    ~~ cen 7035    ~<_ cdom 7036   cardccrd 7748   RRcr 8915   RR*cxr 9045   NNcn 9925   QQcq 10499   (,)cioo 10841   topGenctg 13585   TopBasesctb 16878   2ndcc2ndc 17415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-omul 6658  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-acn 7755  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-q 10500  df-ioo 10845  df-topgen 13587  df-bases 16881  df-2ndc 17417
  Copyright terms: Public domain W3C validator