MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  re2ndc Structured version   Unicode version

Theorem re2ndc 18824
Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
re2ndc  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  2ndc

Proof of Theorem re2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  =  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
21tgqioo 18823 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
3 qtopbas 18785 . . 3  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
4 omelon 7593 . . . . . 6  |-  om  e.  On
5 qnnen 12805 . . . . . . . . 9  |-  QQ  ~~  NN
6 xpen 7262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
75, 5, 6mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
8 xpnnen 12800 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
97, 8entri 7153 . . . . . . 7  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
10 nnenom 11311 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
119, 10entr2i 7154 . . . . . 6  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
12 isnumi 7825 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
134, 11, 12mp2an 654 . . . . 5  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
14 ioof 10994 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
15 ffun 5585 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  (,)
17 qssre 10576 . . . . . . . . 9  |-  QQ  C_  RR
18 ressxr 9121 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
1917, 18sstri 3349 . . . . . . . 8  |-  QQ  C_  RR*
20 xpss12 4973 . . . . . . . 8  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
2119, 19, 20mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2214fdmi 5588 . . . . . . 7  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2321, 22sseqtr4i 3373 . . . . . 6  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
24 fores 5654 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
2516, 23, 24mp2an 654 . . . . 5  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
26 fodomnum 7930 . . . . 5  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
2713, 25, 26mp2 9 . . . 4  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
289, 10entri 7153 . . . 4  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  om
29 domentr 7158 . . . 4  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  om )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om )
3027, 28, 29mp2an 654 . . 3  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om
31 2ndci 17503 . . 3  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om )  ->  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  e. 
2ndc )
323, 30, 31mp2an 654 . 2  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  e.  2ndc
332, 32eqeltri 2505 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  2ndc
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   class class class wbr 4204   Oncon0 4573   omcom 4837    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873   Fun wfun 5440   -->wf 5442   -onto->wfo 5444   ` cfv 5446    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099   cardccrd 7814   RRcr 8981   RR*cxr 9111   NNcn 9992   QQcq 10566   (,)cioo 10908   topGenctg 13657   TopBasesctb 16954   2ndcc2ndc 17493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-ioo 10912  df-topgen 13659  df-bases 16957  df-2ndc 17495
  Copyright terms: Public domain W3C validator