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Theorem readd 11962
Description: Real part distributes over addition. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
readd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )

Proof of Theorem readd
StepHypRef Expression
1 recl 11946 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
32recnd 9145 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
4 ax-icn 9080 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
5 imcl 11947 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
65adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
76recnd 9145 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
8 mulcl 9105 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
94, 7, 8sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
10 recl 11946 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1110adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
1211recnd 9145 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
13 imcl 11947 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1413adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1514recnd 9145 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
16 mulcl 9105 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
174, 15, 16sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
183, 9, 12, 17add4d 9320 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  +  ( ( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
19 replim 11952 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
20 replim 11952 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
2119, 20oveqan12d 6129 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
224a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
2322, 7, 15adddid 9143 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
2423oveq2d 6126 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( Re `  B
) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
2518, 21, 243eqtr4d 2484 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) ) )
2625fveq2d 5761 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( Re
`  ( ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  +  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) ) ) ) )
27 readdcl 9104 . . . 4  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( Re `  B )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  RR )
281, 10, 27syl2an 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  RR )
29 readdcl 9104 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  ( Im `  B )  e.  RR )  -> 
( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  RR )
305, 13, 29syl2an 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  RR )
31 crre 11950 . . 3  |-  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  RR  /\  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( ( Re
`  A )  +  ( Re `  B
) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 644 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im
`  A )  +  ( Im `  B
) ) ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )
3326, 32eqtrd 2474 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   RRcr 9020   _ici 9023    + caddc 9024    x. cmul 9026   Recre 11933   Imcim 11934
This theorem is referenced by:  resub  11963  cjadd  11977  readdi  12020  readdd  12050  sqreulem  12194  fsumre  12618  gzaddcl  13336  atanlogsublem  20786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-2 10089  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937
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