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Theorem readd 11627
Description: Real part distributes over addition. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
readd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )

Proof of Theorem readd
StepHypRef Expression
1 recl 11611 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
32recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
4 ax-icn 8812 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
5 imcl 11612 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
65adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
76recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
8 mulcl 8837 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
94, 7, 8sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
10 recl 11611 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1110adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
1211recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
13 imcl 11612 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1413adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1514recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
16 mulcl 8837 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
174, 15, 16sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
183, 9, 12, 17add4d 9051 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  +  ( ( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
19 replim 11617 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
20 replim 11617 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
2119, 20oveqan12d 5893 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
224a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
2322, 7, 15adddid 8875 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
2423oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( Re `  B
) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
2518, 21, 243eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) ) )
2625fveq2d 5545 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( Re
`  ( ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  +  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) ) ) ) )
27 readdcl 8836 . . . 4  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( Re `  B )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  RR )
281, 10, 27syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  RR )
29 readdcl 8836 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  ( Im `  B )  e.  RR )  -> 
( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  RR )
305, 13, 29syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  RR )
31 crre 11615 . . 3  |-  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  RR  /\  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( ( Re
`  A )  +  ( Re `  B
) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im
`  A )  +  ( Im `  B
) ) ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )
3326, 32eqtrd 2328 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758   Recre 11598   Imcim 11599
This theorem is referenced by:  resub  11628  cjadd  11642  readdi  11685  readdd  11715  sqreulem  11859  fsumre  12282  gzaddcl  13000  atanlogsublem  20227
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602
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