Theorem readdcl 5334

Description: Closure law for addition of reals.

Hypotheses

Ref	Expression
axri.1	|- A e. RR
axri.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
readdcl	|- (A + B) e. RR

Proof of Theorem readdcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axri.1	. 2 |- A e. RR
2		axri.2	. 2 |- B e. RR
3		axaddrcl 5272	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + B) e. RR)
4	1, 2, 3	mp2an 697	1 |- (A + B) e. RR

Syntax hints:   e. wcel 958  (class class class)co 3963  RRcr 5233   + caddc 5237

This theorem is referenced by:  ltadd2 5590  leadd1 5592  ltsubadd 5594  lesubadd 5595  lt2add 5596  le2add 5597  addgt0 5598  addge0 5599  add20 5602  ltneg 5603  eqneg 5804  halfpos 5904  ledivp1 5906  ltdivp1 5907  posex 5908  nnaddm1clt 5958  2re 5979  3re 5981  4re 5982  5re 5983  6re 5984  7re 5985  8re 5986  9re 5987  10re 5988  nn0ltp1let 6127  nneo 6197  icoshftf1oi 6409  sumsqne0 6634  discrlem1 6656  discrlem3 6658  nnesq 6662  nn0opthlem2 6665  nn0opth 6666  sqrlem1 6673  sqrlem2 6674  sqrlem3 6675  sqrlem6 6678  sqrlem8 6680  sqrlem9 6681  sqrlem10 6682  sqrlem11 6683  sqrlem16 6688  sqrlem17 6689  sqrlem19 6691  sqrlem20 6692  sqrlem21 6693  sqrlem22 6694  crulem 6736  readd 6784  imadd 6785  remul 6786  immul 6787  abs00 6842  abstri 6891  abs3lem 6901  seq1bnd 6910  bcpasc 6969  cvgcmp2lem 7180  expcnvlem1 7227  expcnvlem2 7228  erelem7 7325  efaddlem7 7344  efaddlem8 7345  efaddlem10 7347  efaddlem12 7349  efaddlem13 7350  efaddlem15 7352  eirrlem1 7389  eirrlem3 7391  efgt1 7403  efcnlem1 7419  reeff1olem1 7424  ruclem1 7510  ruclem2 7511  ruclem3 7512  ruclem13 7522  ruclem26 7535  minveclem25 8569  minveclem36 8580  minveclem38 8582  cosh111lem1 8714  effoi 8745  norm-ii 9004  norm3lem 9016  normpar2 9023  projlem1 9186  projlem2 9187  projlem3 9188  projlem4 9189  projlem5 9190  projlem6 9191  projlem15 9200  projlem28 9213  nmoptri 10027  bdophs 10029  unierr 10037  stadd 10173  stadd3 10175

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-plus 5245

Copyright terms: Public domain