Theorem recant 6905

Description: Cancellation law involving the real part of a complex number.

Assertion

Ref	Expression
recant	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) <-> A = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem recant

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replimt 6762	. . . . 5 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + (i x. (Im` A))))
2		mulid2t 5429	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (1 x. A) = A)
3	2	eqcomd 1483	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> A = (1 x. A))
4	3	fveq2d 3734	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (Re` A) = (Re` (1 x. A)))
5		imret 6774	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (Im` A) = (Re` (-ui x. A)))
6	5	opreq2d 3982	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (i x. (Im` A)) = (i x. (Re` (-ui x. A))))
7	4, 6	opreq12d 3984	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((Re` A) + (i x. (Im` A))) = ((Re` (1 x. A)) + (i x. (Re` (-ui x. A)))))
8	1, 7	eqtrd 1510	. . . 4 |- (A e. CC -> A = ((Re` (1 x. A)) + (i x. (Re` (-ui x. A)))))
9		replimt 6762	. . . . 5 |- (B e. CC -> B = ((Re` B) + (i x. (Im` B))))
10		mulid2t 5429	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> (1 x. B) = B)
11	10	eqcomd 1483	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> B = (1 x. B))
12	11	fveq2d 3734	. . . . . 6 |- (B e. CC -> (Re` B) = (Re` (1 x. B)))
13		imret 6774	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> (Im` B) = (Re` (-ui x. B)))
14	13	opreq2d 3982	. . . . . 6 |- (B e. CC -> (i x. (Im` B)) = (i x. (Re` (-ui x. B))))
15	12, 14	opreq12d 3984	. . . . 5 |- (B e. CC -> ((Re` B) + (i x. (Im` B))) = ((Re` (1 x. B)) + (i x. (Re` (-ui x. B)))))
16	9, 15	eqtrd 1510	. . . 4 |- (B e. CC -> B = ((Re` (1 x. B)) + (i x. (Re` (-ui x. B)))))
17	8, 16	eqeqan12d 1493	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A = B <-> ((Re` (1 x. A)) + (i x. (Re` (-ui x. A)))) = ((Re` (1 x. B)) + (i x. (Re` (-ui x. B))))))
18		ax1cn 5281	. . . . 5 |- 1 e. CC
19		opreq1 3974	. . . . . . . 8 |- (x = 1 -> (x x. A) = (1 x. A))
20	19	fveq2d 3734	. . . . . . 7 |- (x = 1 -> (Re` (x x. A)) = (Re` (1 x. A)))
21		opreq1 3974	. . . . . . . 8 |- (x = 1 -> (x x. B) = (1 x. B))
22	21	fveq2d 3734	. . . . . . 7 |- (x = 1 -> (Re` (x x. B)) = (Re` (1 x. B)))
23	20, 22	eqeq12d 1492	. . . . . 6 |- (x = 1 -> ((Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) <-> (Re` (1 x. A)) = (Re` (1 x. B))))
24	23	rcla4v 1876	. . . . 5 |- (1 e. CC -> (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> (Re` (1 x. A)) = (Re` (1 x. B))))
25	18, 24	ax-mp 7	. . . 4 |- (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> (Re` (1 x. A)) = (Re` (1 x. B)))
26		axicn 5282	. . . . . . 7 |- i e. CC
27	26	negcl 5381	. . . . . 6 |- -ui e. CC
28		opreq1 3974	. . . . . . . . 9 |- (x = -ui -> (x x. A) = (-ui x. A))
29	28	fveq2d 3734	. . . . . . . 8 |- (x = -ui -> (Re` (x x. A)) = (Re` (-ui x. A)))
30		opreq1 3974	. . . . . . . . 9 |- (x = -ui -> (x x. B) = (-ui x. B))
31	30	fveq2d 3734	. . . . . . . 8 |- (x = -ui -> (Re` (x x. B)) = (Re` (-ui x. B)))
32	29, 31	eqeq12d 1492	. . . . . . 7 |- (x = -ui -> ((Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) <-> (Re` (-ui x. A)) = (Re` (-ui x. B))))
33	32	rcla4v 1876	. . . . . 6 |- (-ui e. CC -> (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> (Re` (-ui x. A)) = (Re` (-ui x. B))))
34	27, 33	ax-mp 7	. . . . 5 |- (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> (Re` (-ui x. A)) = (Re` (-ui x. B)))
35	34	opreq2d 3982	. . . 4 |- (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> (i x. (Re` (-ui x. A))) = (i x. (Re` (-ui x. B))))
36	25, 35	opreq12d 3984	. . 3 |- (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> ((Re` (1 x. A)) + (i x. (Re` (-ui x. A)))) = ((Re` (1 x. B)) + (i x. (Re` (-ui x. B)))))
37	17, 36	syl5bir 210	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> A = B))
38		opreq2 3975	. . . . 5 |- (A = B -> (x x. A) = (x x. B))
39	38	fveq2d 3734	. . . 4 |- (A = B -> (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)))
40	39	a1d 12	. . 3 |- (A = B -> (x e. CC -> (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B))))
41	40	r19.21aiv 1716	. 2 |- (A = B -> A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)))
42	37, 41	impbid1 519	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) <-> A = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247  ici 5248   + caddc 5249   x. cmul 5251  -ucneg 5305  Recre 6748  Imcim 6749

This theorem is referenced by:  lnopunilem2 9931

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-re 6752  df-im 6753

Copyright terms: Public domain