HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem recextlem2 5695
Description: Lemma for recext 5696.
Assertion
Ref Expression
recextlem2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
Proof of Theorem recextlem2
StepHypRef Expression
1 gt0ne0t 5630 . 2 |- ((((A x. A) + (B x. B)) e. RR /\ 0 < ((A x. A) + (B x. B))) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
2 axaddrcl 5284 . . . 4 |- (((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
3 axmulrcl 5286 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ A e. RR) -> (A x. A) e. RR)
43anidms 436 . . . 4 |- (A e. RR -> (A x. A) e. RR)
5 axmulrcl 5286 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ B e. RR) -> (B x. B) e. RR)
65anidms 436 . . . 4 |- (B e. RR -> (B x. B) e. RR)
72, 4, 6syl2an 456 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
873adant3 801 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
9 addgtge0t 5661 . . . . . 6 |- ((((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) /\ (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B))) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
104, 6anim12i 333 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
1110adantr 391 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
12 msqgt0t 5627 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> 0 < (A x. A))
13 msqge0t 5628 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> 0 <_ (B x. B))
1412, 13anim12i 333 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ A =/= 0) /\ B e. RR) -> (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B)))
1514an1rs 491 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B)))
169, 11, 15sylanc 473 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
17 addgegt0t 5660 . . . . . 6 |- ((((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) /\ (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B))) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
1810adantr 391 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
19 msqge0t 5628 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> 0 <_ (A x. A))
20 msqgt0t 5627 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ B =/= 0) -> 0 < (B x. B))
2119, 20anim12i 333 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ B =/= 0)) -> (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B)))
2221anassrs 443 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B)))
2317, 18, 22sylanc 473 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
2416, 23jaodan 428 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (A =/= 0 \/ B =/= 0)) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
25 opreq12 3976 . . . . . . . 8 |- ((A = 0 /\ (i x. B) = 0) -> (A + (i x. B)) = (0 + 0))
26 opreq2 3975 . . . . . . . . 9 |- (B = 0 -> (i x. B) = (i x. 0))
27 axicn 5282 . . . . . . . . . 10 |- i e. CC
2827mul01 5443 . . . . . . . . 9 |- (i x. 0) = 0
2926, 28syl6eq 1526 . . . . . . . 8 |- (B = 0 -> (i x. B) = 0)
3025, 29sylan2 453 . . . . . . 7 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + (i x. B)) = (0 + 0))
31 0cn 5340 . . . . . . . 8 |- 0 e. CC
3231addid1 5342 . . . . . . 7 |- (0 + 0) = 0
3330, 32syl6eq 1526 . . . . . 6 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + (i x. B)) = 0)
3433necon3ai 1609 . . . . 5 |- ((A + (i x. B)) =/= 0 -> -. (A = 0 /\ B = 0))
35 neorian 1643 . . . . 5 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> -. (A = 0 /\ B = 0))
3634, 35sylibr 200 . . . 4 |- ((A + (i x. B)) =/= 0 -> (A =/= 0 \/ B =/= 0))
3724, 36sylan2 453 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
38373impa 830 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
391, 8, 38sylanc 473 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246  ici 5248   + caddc 5249   x. cmul 5251   <_ cle 5307   < clt 5498
This theorem is referenced by:  recext 5696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503
Copyright terms: Public domain