Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0ii Unicode version

Theorem recgt0ii 9662
 Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1
recgt0i.2
Assertion
Ref Expression
recgt0ii

Proof of Theorem recgt0ii
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 8795 . . . . . 6
2 ltplus1.1 . . . . . . 7
32recni 8849 . . . . . 6
4 ax-1ne0 8806 . . . . . 6
5 recgt0i.2 . . . . . . 7
62, 5gt0ne0ii 9309 . . . . . 6
71, 3, 4, 6divne0i 9508 . . . . 5
87necomi 2528 . . . 4
9 df-ne 2448 . . . 4
108, 9mpbi 199 . . 3
11 0lt1 9296 . . . . 5
12 0re 8838 . . . . . 6
13 1re 8837 . . . . . 6
1412, 13ltnsymi 8937 . . . . 5
1511, 14ax-mp 8 . . . 4
162, 6rereccli 9525 . . . . . . . . 9
1716renegcli 9108 . . . . . . . 8
1817, 2mulgt0i 8951 . . . . . . 7
195, 18mpan2 652 . . . . . 6
2016recni 8849 . . . . . . . 8
2120, 3mulneg1i 9225 . . . . . . 7
223, 6recidi 9491 . . . . . . . . 9
233, 20, 22mulcomli 8844 . . . . . . . 8
2423negeqi 9045 . . . . . . 7
2521, 24eqtri 2303 . . . . . 6
2619, 25syl6breq 4062 . . . . 5
27 lt0neg1 9280 . . . . . 6
2816, 27ax-mp 8 . . . . 5
29 lt0neg1 9280 . . . . . 6
3013, 29ax-mp 8 . . . . 5
3126, 28, 303imtr4i 257 . . . 4
3215, 31mto 167 . . 3
3310, 32pm3.2ni 827 . 2
34 axlttri 8894 . . 3
3512, 16, 34mp2an 653 . 2
3633, 35mpbir 200 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 176   wo 357   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   cmul 8742   clt 8867  cneg 9038   cdiv 9423 This theorem is referenced by:  halfgt0  9932  0.999...  12337  sincos2sgn  12474  rpnnen2lem3  12495  rpnnen2lem4  12496  rpnnen2lem9  12501  pcoass  18522  log2tlbnd  20241 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424
 Copyright terms: Public domain W3C validator