MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recl Unicode version

Theorem recl 11642
Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
recl  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem recl
StepHypRef Expression
1 reval 11638 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( ( A  +  ( * `  A ) )  / 
2 ) )
2 cjth 11635 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( * `  A ) ) )  e.  RR ) )
32simpld 445 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( * `  A ) )  e.  RR )
43rehalfcld 10005 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
51, 4eqeltrd 2390 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1701   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781   _ici 8784    + caddc 8785    x. cmul 8787    - cmin 9082    / cdiv 9468   2c2 9840   *ccj 11628   Recre 11629
This theorem is referenced by:  imcl  11643  ref  11644  crre  11646  remim  11649  reim0b  11651  rereb  11652  mulre  11653  cjreb  11655  recj  11656  reneg  11657  readd  11658  resub  11659  remullem  11660  remul2  11662  rediv  11663  imcj  11664  imneg  11665  imadd  11666  immul2  11669  cjadd  11673  ipcnval  11675  cjmulval  11677  cjmulge0  11678  cjneg  11679  imval2  11683  cnrecnv  11697  sqeqd  11698  recli  11699  recld  11726  cnpart  11772  absrele  11840  releabs  11852  efeul  12489  absef  12524  absefib  12525  efieq1re  12526  cnsubrg  16488  mbfconst  19043  itgconst  19226  tanregt0  19954  argregt0  20017  tanarg  20023  logf1o2  20050  abscxp  20092  isosctrlem1  20171  asinsin  20241  acoscos  20242  atancj  20259  atantan  20272  cxploglim2  20326  cncph  21452  zetacvg  23973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-2 9849  df-cj 11631  df-re 11632
  Copyright terms: Public domain W3C validator