MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recl Unicode version

Theorem recl 11595
Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
recl  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem recl
StepHypRef Expression
1 reval 11591 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( ( A  +  ( * `  A ) )  / 
2 ) )
2 cjth 11588 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( * `  A ) ) )  e.  RR ) )
32simpld 445 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( * `  A ) )  e.  RR )
43rehalfcld 9958 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
51, 4eqeltrd 2357 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   *ccj 11581   Recre 11582
This theorem is referenced by:  imcl  11596  ref  11597  crre  11599  remim  11602  reim0b  11604  rereb  11605  mulre  11606  cjreb  11608  recj  11609  reneg  11610  readd  11611  resub  11612  remullem  11613  remul2  11615  rediv  11616  imcj  11617  imneg  11618  imadd  11619  immul2  11622  cjadd  11626  ipcnval  11628  cjmulval  11630  cjmulge0  11631  cjneg  11632  imval2  11636  cnrecnv  11650  sqeqd  11651  recli  11652  recld  11679  cnpart  11725  absrele  11793  releabs  11805  efeul  12442  absef  12477  absefib  12478  efieq1re  12479  cnsubrg  16432  mbfconst  18990  itgconst  19173  tanregt0  19901  argregt0  19964  tanarg  19970  logf1o2  19997  abscxp  20039  isosctrlem1  20118  asinsin  20188  acoscos  20189  atancj  20206  atantan  20219  cxploglim2  20273  cncph  21397  zetacvg  23689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-cj 11584  df-re 11585
  Copyright terms: Public domain W3C validator