MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recld Structured version   Unicode version

Theorem recld 12001
Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
recld  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem recld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 recl 11917 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   ` cfv 5456   CCcc 8990   RRcr 8991   Recre 11904
This theorem is referenced by:  abstri  12136  sqreulem  12165  eqsqr2d  12174  rlimrege0  12375  recoscl  12744  cos01bnd  12789  cnsubrg  16761  mbfeqa  19537  mbfss  19540  mbfmulc2re  19542  mbfadd  19555  mbfmulc2  19557  mbflim  19562  mbfmul  19620  iblcn  19692  itgcnval  19693  itgre  19694  itgim  19695  iblneg  19696  itgneg  19697  iblss  19698  itgeqa  19707  iblconst  19711  ibladd  19714  itgadd  19718  iblabs  19722  iblabsr  19723  iblmulc2  19724  itgmulc2  19727  itgabs  19728  itgsplit  19729  dvlip  19879  tanregt0  20443  efif1olem4  20449  eff1olem  20452  lognegb  20486  relog  20493  efiarg  20504  cosarg0d  20506  argregt0  20507  argrege0  20508  abslogle  20515  logcnlem4  20538  cxpsqrlem  20595  cxpcn3lem  20633  abscxpbnd  20639  cosangneg2d  20651  angrtmuld  20652  lawcoslem1  20659  isosctrlem1  20664  asinlem3a  20712  asinlem3  20713  asinneg  20728  asinsinlem  20733  asinsin  20734  acosbnd  20742  atanlogaddlem  20755  atanlogadd  20756  atanlogsublem  20757  atanlogsub  20758  atantan  20765  o1cxp  20815  cxploglim2  20819  sqsscirc2  24309  zetacvg  24801  lgamgulmlem2  24816  ibladdnc  26264  itgaddnc  26267  iblabsnc  26271  iblmulc2nc  26272  itgmulc2nc  26275  itgabsnc  26276  bddiblnc  26277  ftc1anclem2  26283  ftc1anclem5  26286  ftc1anclem6  26287  ftc1anclem8  26289  cntotbnd  26507  isosctrlem1ALT  29108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-2 10060  df-cj 11906  df-re 11907
  Copyright terms: Public domain W3C validator