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Theorem recld2 18372
Description: The real numbers are a closed set in the topology on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
recld2  |-  RR  e.  ( Clsd `  J )

Proof of Theorem recld2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3337 . . 3  |-  ( CC 
\  RR )  C_  CC
2 eldifi 3332 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  x  e.  CC )
32imcld 11727 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( Im
`  x )  e.  RR )
43recnd 8906 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( Im
`  x )  e.  CC )
5 eldifn 3333 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  -.  x  e.  RR )
6 reim0b 11651 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
72, 6syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
87necon3bbid 2513 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( -.  x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =/=  0
) )
95, 8mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( Im
`  x )  =/=  0 )
104, 9absrpcld 11977 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  x
) )  e.  RR+ )
11 cnxmet 18334 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
1211a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
134abscld 11965 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  x
) )  e.  RR )
1413rexrd 8926 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  x
) )  e.  RR* )
15 elbl 18001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  ( abs `  ( Im `  x ) )  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( abs `  (
Im `  x )
) )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs  o.  -  ) y )  < 
( abs `  (
Im `  x )
) ) ) )
1612, 2, 14, 15syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( y  e.  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( abs `  ( Im
`  x ) ) )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs  o.  -  ) y )  < 
( abs `  (
Im `  x )
) ) ) )
17 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) ) )  ->  y  e.  CC )
182adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
19 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
2019recnd 8906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
2118, 20imsubd 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  (
x  -  y ) )  =  ( ( Im `  x )  -  ( Im `  y ) ) )
22 reim0 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
Im `  y )  =  0 )
2322adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  y
)  =  0 )
2423oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( Im `  x )  -  (
Im `  y )
)  =  ( ( Im `  x )  -  0 ) )
254adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  x
)  e.  CC )
2625subid1d 9191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( Im `  x )  -  0 )  =  ( Im
`  x ) )
2721, 24, 263eqtrd 2352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  (
x  -  y ) )  =  ( Im
`  x ) )
2827fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  ( x  -  y ) ) )  =  ( abs `  ( Im `  x
) ) )
2918, 20subcld 9202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  -  y
)  e.  CC )
30 absimle 11841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( x  -  y
) ) )  <_ 
( abs `  (
x  -  y ) ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  ( x  -  y ) ) )  <_  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
3228, 31eqbrtrrd 4082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  x )
)  <_  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
3325abscld 11965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  x )
)  e.  RR )
3429abscld 11965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  e.  RR )
3533, 34lenltd 9010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
Im `  x )
)  <_  ( abs `  ( x  -  y
) )  <->  -.  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( abs `  (
Im `  x )
) ) )
3632, 35mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  -.  ( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) )
37 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3837cnmetdval 18332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
3918, 20, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
4039breq1d 4070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x ( abs  o.  -  )
y )  <  ( abs `  ( Im `  x ) )  <->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  ( abs `  ( Im `  x ) ) ) )
4136, 40mtbird 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  -.  ( x ( abs  o.  -  )
y )  <  ( abs `  ( Im `  x ) ) )
4241ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( y  e.  RR  ->  -.  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) ) )
4342con2d 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( ( x ( abs  o.  -  ) y )  <  ( abs `  (
Im `  x )
)  ->  -.  y  e.  RR ) )
4443adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x ( abs  o.  -  )
y )  <  ( abs `  ( Im `  x ) )  ->  -.  y  e.  RR ) )
4544impr 602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) ) )  ->  -.  y  e.  RR )
46 eldif 3196 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \  RR )  <->  ( y  e.  CC  /\  -.  y  e.  RR ) )
4717, 45, 46sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) ) )  ->  y  e.  ( CC  \  RR ) )
4847ex 423 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) )  -> 
y  e.  ( CC 
\  RR ) ) )
4916, 48sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( y  e.  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( abs `  ( Im
`  x ) ) )  ->  y  e.  ( CC  \  RR ) ) )
5049ssrdv 3219 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( abs `  (
Im `  x )
) )  C_  ( CC  \  RR ) )
51 oveq2 5908 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( abs `  (
Im `  x )
)  ->  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  =  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( abs `  (
Im `  x )
) ) )
5251sseq1d 3239 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( abs `  (
Im `  x )
)  ->  ( (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  ( CC  \  RR )  <->  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( abs `  ( Im
`  x ) ) )  C_  ( CC  \  RR ) ) )
5352rspcev 2918 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  (
Im `  x )
)  e.  RR+  /\  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( abs `  (
Im `  x )
) )  C_  ( CC  \  RR ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) 
C_  ( CC  \  RR ) )
5410, 50, 53syl2anc 642 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  C_  ( CC  \  RR ) )
5554rgen 2642 . . 3  |-  A. x  e.  ( CC  \  RR ) E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) 
C_  ( CC  \  RR )
56 recld2.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
5756cnfldtopn 18343 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
5857elmopn2 18043 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  ->  ( ( CC 
\  RR )  e.  J  <->  ( ( CC 
\  RR )  C_  CC  /\  A. x  e.  ( CC  \  RR ) E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) 
C_  ( CC  \  RR ) ) ) )
5911, 58ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( CC  \  RR )  e.  J  <->  ( ( CC  \  RR )  C_  CC  /\  A. x  e.  ( CC  \  RR ) E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) 
C_  ( CC  \  RR ) ) )
601, 55, 59mpbir2an 886 . 2  |-  ( CC 
\  RR )  e.  J
6156cnfldtop 18345 . . 3  |-  J  e. 
Top
62 ax-resscn 8839 . . 3  |-  RR  C_  CC
6357mopnuni 18039 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  ->  CC  =  U. J )
6411, 63ax-mp 8 . . . 4  |-  CC  =  U. J
6564iscld2 16821 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  RR  C_  CC )  -> 
( RR  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( CC  \  RR )  e.  J ) )
6661, 62, 65mp2an 653 . 2  |-  ( RR  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( CC  \  RR )  e.  J
)
6760, 66mpbir 200 1  |-  RR  e.  ( Clsd `  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578    \ cdif 3183    C_ wss 3186   U.cuni 3864   class class class wbr 4060    o. ccom 4730   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913    - cmin 9082   RR+crp 10401   Imcim 11630   abscabs 11766   TopOpenctopn 13375   * Metcxmt 16418   ballcbl 16420  ℂfldccnfld 16432   Topctop 16687   Clsdccld 16809
This theorem is referenced by:  zcld2  18373  rellycmp  18508  recmet  18798  ishl2  18840  logdmopn  20049  recms  23534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-fz 10830  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-xms 17937  df-ms 17938
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