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Theorem recld2 18847
Description: The real numbers are a closed set in the topology on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
recld2  |-  RR  e.  ( Clsd `  J )

Proof of Theorem recld2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3476 . . 3  |-  ( CC 
\  RR )  C_  CC
2 eldifi 3471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  x  e.  CC )
32imcld 12002 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( Im
`  x )  e.  RR )
43recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( Im
`  x )  e.  CC )
5 eldifn 3472 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  -.  x  e.  RR )
6 reim0b 11926 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
72, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
87necon3bbid 2637 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( -.  x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =/=  0
) )
95, 8mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( Im
`  x )  =/=  0 )
104, 9absrpcld 12252 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  x
) )  e.  RR+ )
11 cnxmet 18809 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
134abscld 12240 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  x
) )  e.  RR )
1413rexrd 9136 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  x
) )  e.  RR* )
15 elbl 18420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  ( abs `  ( Im `  x ) )  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( abs `  (
Im `  x )
) )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs  o.  -  ) y )  < 
( abs `  (
Im `  x )
) ) ) )
1612, 2, 14, 15syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( y  e.  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( abs `  ( Im
`  x ) ) )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs  o.  -  ) y )  < 
( abs `  (
Im `  x )
) ) ) )
17 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) ) )  ->  y  e.  CC )
182adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
19 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
2019recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
2118, 20imsubd 12024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  (
x  -  y ) )  =  ( ( Im `  x )  -  ( Im `  y ) ) )
22 reim0 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
Im `  y )  =  0 )
2322adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  y
)  =  0 )
2423oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( Im `  x )  -  (
Im `  y )
)  =  ( ( Im `  x )  -  0 ) )
254adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  x
)  e.  CC )
2625subid1d 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( Im `  x )  -  0 )  =  ( Im
`  x ) )
2721, 24, 263eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  (
x  -  y ) )  =  ( Im
`  x ) )
2827fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  ( x  -  y ) ) )  =  ( abs `  ( Im `  x
) ) )
2918, 20subcld 9413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  -  y
)  e.  CC )
30 absimle 12116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( x  -  y
) ) )  <_ 
( abs `  (
x  -  y ) ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  ( x  -  y ) ) )  <_  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
3228, 31eqbrtrrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  x )
)  <_  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
3325abscld 12240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  x )
)  e.  RR )
3429abscld 12240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  e.  RR )
3533, 34lenltd 9221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
Im `  x )
)  <_  ( abs `  ( x  -  y
) )  <->  -.  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( abs `  (
Im `  x )
) ) )
3632, 35mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  -.  ( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) )
37 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3837cnmetdval 18807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
3918, 20, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
4039breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x ( abs  o.  -  )
y )  <  ( abs `  ( Im `  x ) )  <->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  ( abs `  ( Im `  x ) ) ) )
4136, 40mtbird 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  -.  ( x ( abs  o.  -  )
y )  <  ( abs `  ( Im `  x ) ) )
4241ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( y  e.  RR  ->  -.  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) ) )
4342con2d 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( ( x ( abs  o.  -  ) y )  <  ( abs `  (
Im `  x )
)  ->  -.  y  e.  RR ) )
4443adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x ( abs  o.  -  )
y )  <  ( abs `  ( Im `  x ) )  ->  -.  y  e.  RR ) )
4544impr 604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) ) )  ->  -.  y  e.  RR )
4617, 45eldifd 3333 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  RR )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) ) )  ->  y  e.  ( CC  \  RR ) )
4746ex 425 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( ( y  e.  CC  /\  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  <  ( abs `  ( Im `  x
) ) )  -> 
y  e.  ( CC 
\  RR ) ) )
4816, 47sylbid 208 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( y  e.  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( abs `  ( Im
`  x ) ) )  ->  y  e.  ( CC  \  RR ) ) )
4948ssrdv 3356 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( abs `  (
Im `  x )
) )  C_  ( CC  \  RR ) )
50 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( abs `  (
Im `  x )
)  ->  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  =  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( abs `  (
Im `  x )
) ) )
5150sseq1d 3377 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( abs `  (
Im `  x )
)  ->  ( (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  C_  ( CC  \  RR )  <->  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( abs `  ( Im
`  x ) ) )  C_  ( CC  \  RR ) ) )
5251rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  (
Im `  x )
)  e.  RR+  /\  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( abs `  (
Im `  x )
) )  C_  ( CC  \  RR ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) 
C_  ( CC  \  RR ) )
5310, 49, 52syl2anc 644 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  RR )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y )  C_  ( CC  \  RR ) )
5453rgen 2773 . . 3  |-  A. x  e.  ( CC  \  RR ) E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) 
C_  ( CC  \  RR )
55 recld2.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
5655cnfldtopn 18818 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
5756elmopn2 18477 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  ->  ( ( CC 
\  RR )  e.  J  <->  ( ( CC 
\  RR )  C_  CC  /\  A. x  e.  ( CC  \  RR ) E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) 
C_  ( CC  \  RR ) ) ) )
5811, 57ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( CC  \  RR )  e.  J  <->  ( ( CC  \  RR )  C_  CC  /\  A. x  e.  ( CC  \  RR ) E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) 
C_  ( CC  \  RR ) ) )
591, 54, 58mpbir2an 888 . 2  |-  ( CC 
\  RR )  e.  J
6055cnfldtop 18820 . . 3  |-  J  e. 
Top
61 ax-resscn 9049 . . 3  |-  RR  C_  CC
6256mopnuni 18473 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  ->  CC  =  U. J )
6311, 62ax-mp 8 . . . 4  |-  CC  =  U. J
6463iscld2 17094 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  RR  C_  CC )  -> 
( RR  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( CC  \  RR )  e.  J ) )
6560, 61, 64mp2an 655 . 2  |-  ( RR  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( CC  \  RR )  e.  J
)
6659, 65mpbir 202 1  |-  RR  e.  ( Clsd `  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3319    C_ wss 3322   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    o. ccom 4884   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   RR+crp 10614   Imcim 11905   abscabs 12041   TopOpenctopn 13651   * Metcxmt 16688   ballcbl 16690  ℂfldccnfld 16705   Topctop 16960   Clsdccld 17082
This theorem is referenced by:  zcld2  18848  rellycmp  18984  recmet  19278  ishl2  19326  logdmopn  20542  recms  24345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-xms 18352  df-ms 18353
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