Theorem reclem1pr 5156

Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	|- B = {x | E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}

Assertion

Ref	Expression
reclem1pr	|- (A e. P. -> (/) (. B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B

Proof of Theorem reclem1pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 5094	. . . . . 6 |- (A e. P. -> A (. Q.)
2		pssnel 2331	. . . . . 6 |- (A (. Q. -> E.x(x e. Q. /\ -. x e. A))
3		recclpq 5072	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. Q. -> (*Q` x) e. Q.)
4		dmrecpq 5074	. . . . . . . . . . . 12 |- dom *Q = Q.
5		0npq 5050	. . . . . . . . . . . 12 |- -. (/) e. Q.
6	4, 5	ndmfvrcl 3746	. . . . . . . . . . 11 |- ((*Q` x) e. Q. -> x e. Q.)
7	3, 6	impbi 157	. . . . . . . . . 10 |- (x e. Q. <-> (*Q` x) e. Q.)
8	7	anbi1i 481	. . . . . . . . 9 |- ((x e. Q. /\ -. (*Q` (*Q` x)) e. A) <-> ((*Q` x) e. Q. /\ -. (*Q` (*Q` x)) e. A))
9		visset 1813	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. V
10	9	recrecpq 5073	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. Q. -> (*Q` (*Q` x)) = x)
11	10	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. Q. -> ((*Q` (*Q` x)) e. A <-> x e. A))
12	11	negbid 611	. . . . . . . . . 10 |- (x e. Q. -> (-. (*Q` (*Q` x)) e. A <-> -. x e. A))
13	12	pm5.32i 645	. . . . . . . . 9 |- ((x e. Q. /\ -. (*Q` (*Q` x)) e. A) <-> (x e. Q. /\ -. x e. A))
14	8, 13	bitr3 175	. . . . . . . 8 |- (((*Q` x) e. Q. /\ -. (*Q` (*Q` x)) e. A) <-> (x e. Q. /\ -. x e. A))
15		fvex 3732	. . . . . . . . 9 |- (*Q` x) e. V
16		eleq1 1534	. . . . . . . . . 10 |- (y = (*Q` x) -> (y e. Q. <-> (*Q` x) e. Q.))
17		fveq2 3724	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (*Q` x) -> (*Q` y) = (*Q` (*Q` x)))
18	17	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (*Q` x) -> ((*Q` y) e. A <-> (*Q` (*Q` x)) e. A))
19	18	negbid 611	. . . . . . . . . 10 |- (y = (*Q` x) -> (-. (*Q` y) e. A <-> -. (*Q` (*Q` x)) e. A))
20	16, 19	anbi12d 628	. . . . . . . . 9 |- (y = (*Q` x) -> ((y e. Q. /\ -. (*Q` y) e. A) <-> ((*Q` x) e. Q. /\ -. (*Q` (*Q` x)) e. A)))
21	15, 20	cla4ev 1869	. . . . . . . 8 |- (((*Q` x) e. Q. /\ -. (*Q` (*Q` x)) e. A) -> E.y(y e. Q. /\ -. (*Q` y) e. A))
22	14, 21	sylbir 201	. . . . . . 7 |- ((x e. Q. /\ -. x e. A) -> E.y(y e. Q. /\ -. (*Q` y) e. A))
23	22	19.23aiv 1295	. . . . . 6 |- (E.x(x e. Q. /\ -. x e. A) -> E.y(y e. Q. /\ -. (*Q` y) e. A))
24	1, 2, 23	3syl 20	. . . . 5 |- (A e. P. -> E.y(y e. Q. /\ -. (*Q` y) e. A))
25		nsmallpq 5083	. . . . . . . 8 |- (y e. Q. -> E.x x <Q y)
26	25	anim1i 334	. . . . . . 7 |- ((y e. Q. /\ -. (*Q` y) e. A) -> (E.x x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A))
27		19.41v 1305	. . . . . . 7 |- (E.x(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) <-> (E.x x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A))
28	26, 27	sylibr 200	. . . . . 6 |- ((y e. Q. /\ -. (*Q` y) e. A) -> E.x(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A))
29	28	19.22i 1040	. . . . 5 |- (E.y(y e. Q. /\ -. (*Q` y) e. A) -> E.yE.x(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A))
30	24, 29	syl 10	. . . 4 |- (A e. P. -> E.yE.x(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A))
31		excom 1046	. . . 4 |- (E.xE.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) <-> E.yE.x(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A))
32	30, 31	sylibr 200	. . 3 |- (A e. P. -> E.xE.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A))
33		reclempr.1	. . . . 5 |- B = {x | E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}
34	33	abeq2i 1570	. . . 4 |- (x e. B <-> E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A))
35	34	exbii 1051	. . 3 |- (E.x x e. B <-> E.xE.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A))
36	32, 35	sylibr 200	. 2 |- (A e. P. -> E.x x e. B)
37		0pss 2308	. . 3 |- ((/) (. B <-> B =/= (/))
38		ne0 2288	. . 3 |- (B =/= (/) <-> E.x x e. B)
39	37, 38	bitr 173	. 2 |- ((/) (. B <-> E.x x e. B)
40	36, 39	sylibr 200	1 |- (A e. P. -> (/) (. B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   =/= wne 1585   (. wpss 2048  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  Q.cnq 4979  *Qcrq 4983   <Q cltq 4984  P.cnp 4985

This theorem is referenced by:  reclem2pr 5157

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086

Copyright terms: Public domain