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Theorem reclem2pr 8930
Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
Assertion
Ref Expression
reclem2pr  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reclem2pr
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 8872 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  A  C.  Q. )
2 pssnel 3695 . . . . . 6  |-  ( A 
C.  Q.  ->  E. x
( x  e.  Q.  /\ 
-.  x  e.  A
) )
3 recclnq 8848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( *Q `  x )  e. 
Q. )
4 nsmallnq 8859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( *Q `  x )  e.  Q.  ->  E. z 
z  <Q  ( *Q `  x ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Q.  ->  E. z 
z  <Q  ( *Q `  x ) )
65adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  E. z 
z  <Q  ( *Q `  x ) )
7 recrecnq 8849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  =  x )
87eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A  <->  x  e.  A ) )
98notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( -.  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A  <->  -.  x  e.  A ) )
109anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( z  <Q  ( *Q `  x )  /\  -.  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A )  <->  ( z  <Q  ( *Q `  x
)  /\  -.  x  e.  A ) ) )
11 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( *Q
`  x )  e. 
_V
12 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  (
z  <Q  y  <->  z  <Q  ( *Q `  x ) ) )
13 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  ( *Q `  x ) ) )
1413eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  (
( *Q `  y
)  e.  A  <->  ( *Q `  ( *Q `  x
) )  e.  A
) )
1514notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  <->  -.  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A ) )
1612, 15anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  (
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( z  <Q 
( *Q `  x
)  /\  -.  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A ) ) )
1711, 16spcev 3045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  <Q  ( *Q `  x )  /\  -.  ( *Q `  ( *Q
`  x ) )  e.  A )  ->  E. y ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) )
1810, 17syl6bir 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( z  <Q  ( *Q `  x )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
19 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
20 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <Q  y  <->  z  <Q  y ) )
2120anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) ) )
2221exbidv 1637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  <->  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
23 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
2419, 22, 23elab2 3087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  <->  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) )
2518, 24syl6ibr 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( z  <Q  ( *Q `  x )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  z  e.  B ) )
2625exp3acom23 1382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( z  <Q  ( *Q `  x )  -> 
z  e.  B ) ) )
2726imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( z  <Q  ( *Q `  x
)  ->  z  e.  B ) )
2827eximdv 1633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( E. z  z  <Q  ( *Q
`  x )  ->  E. z  z  e.  B ) )
296, 28mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  E. z 
z  e.  B )
30 n0 3639 . . . . . . . 8  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  B )
3129, 30sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  B  =/=  (/) )
3231exlimiv 1645 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e. 
Q.  /\  -.  x  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
331, 2, 323syl 19 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  B  =/=  (/) )
34 0pss 3667 . . . . 5  |-  ( (/)  C.  B  <->  B  =/=  (/) )
3533, 34sylibr 205 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  (/)  C.  B
)
36 prn0 8871 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  A  =/=  (/) )
37 elprnq 8873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  Q. )
38 recrecnq 8849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( *Q `  z ) )  =  z )
3938eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( *Q `  ( *Q `  z ) )  e.  A  <->  z  e.  A ) )
4039anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( A  e.  P.  /\  ( *Q `  ( *Q `  z ) )  e.  A )  <->  ( A  e.  P.  /\  z  e.  A ) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A  e. 
P.  /\  ( *Q `  ( *Q `  z
) )  e.  A
)  <->  ( A  e. 
P.  /\  z  e.  A ) ) )
42 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( *Q
`  z )  e. 
_V
43 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( *Q `  z )  ->  ( *Q `  x )  =  ( *Q `  ( *Q `  z ) ) )
4443eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( *Q `  z )  ->  (
( *Q `  x
)  e.  A  <->  ( *Q `  ( *Q `  z
) )  e.  A
) )
4544anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( *Q `  z )  ->  (
( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x
)  e.  A )  <-> 
( A  e.  P.  /\  ( *Q `  ( *Q `  z ) )  e.  A ) ) )
4642, 45spcev 3045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  ( *Q
`  z ) )  e.  A )  ->  E. x ( A  e. 
P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A
) )
4741, 46syl6bir 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A  e. 
P.  /\  z  e.  A )  ->  E. x
( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x
)  e.  A ) ) )
4847pm2.43i 46 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  E. x ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A ) )
49 elprnq 8873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  -> 
( *Q `  x
)  e.  Q. )
50 dmrecnq 8850 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  *Q  =  Q.
51 0nnq 8806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  (/)  e.  Q.
5250, 51ndmfvrcl 5759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( *Q `  x )  e.  Q.  ->  x  e.  Q. )
5349, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
54 ltrnq 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
<Q  y  <->  ( *Q `  y )  <Q  ( *Q `  x ) )
55 prcdnq 8875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  -> 
( ( *Q `  y )  <Q  ( *Q `  x )  -> 
( *Q `  y
)  e.  A ) )
5654, 55syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  -> 
( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y
)  e.  A ) )
5756alrimiv 1642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  ->  A. y ( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y )  e.  A
) )
5823abeq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  <->  E. y
( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) )
59 exanali 1596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  <->  -.  A. y
( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y
)  e.  A ) )
6058, 59bitri 242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  B  <->  -.  A. y
( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y
)  e.  A ) )
6160con2bii 324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  -.  x  e.  B )
6257, 61sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  ->  -.  x  e.  B
)
6353, 62jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  -> 
( x  e.  Q.  /\ 
-.  x  e.  B
) )
6463eximi 1586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x ( A  e. 
P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A
)  ->  E. x
( x  e.  Q.  /\ 
-.  x  e.  B
) )
6548, 64syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  E. x ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  B )
)
6665ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  (
z  e.  A  ->  E. x ( x  e. 
Q.  /\  -.  x  e.  B ) ) )
6766exlimdv 1647 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  E. x ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  B )
) )
68 n0 3639 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
69 nss 3408 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
Q.  C_  B  <->  E. x
( x  e.  Q.  /\ 
-.  x  e.  B
) )
7067, 68, 693imtr4g 263 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  =/=  (/)  ->  -.  Q.  C_  B ) )
7136, 70mpd 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  -.  Q.  C_  B )
72 ltrelnq 8808 . . . . . . . . . . . 12  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
7372brel 4929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
<Q  y  ->  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. ) )
7473simpld 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
<Q  y  ->  x  e. 
Q. )
7574adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
7675exlimiv 1645 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
7758, 76sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  Q. )
7877ssriv 3354 . . . . . 6  |-  B  C_  Q.
7971, 78jctil 525 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  C_  Q.  /\  -.  Q.  C_  B ) )
80 dfpss3 3435 . . . . 5  |-  ( B 
C.  Q.  <->  ( B  C_  Q.  /\  -.  Q.  C_  B ) )
8179, 80sylibr 205 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  B  C.  Q. )
8235, 81jca 520 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( (/)  C.  B  /\  B  C.  Q. ) )
83 ltsonq 8851 . . . . . . . . . . . 12  |-  <Q  Or  Q.
8483, 72sotri 5264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  <Q  x  /\  x  <Q  y )  -> 
z  <Q  y )
8584ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
<Q  x  ->  ( x 
<Q  y  ->  z  <Q 
y ) )
8685anim1d 549 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
<Q  x  ->  ( ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) ) )
8786eximdv 1633 . . . . . . . 8  |-  ( z 
<Q  x  ->  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
8887, 58, 243imtr4g 263 . . . . . . 7  |-  ( z 
<Q  x  ->  ( x  e.  B  ->  z  e.  B ) )
8988com12 30 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  (
z  <Q  x  ->  z  e.  B ) )
9089alrimiv 1642 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  A. z
( z  <Q  x  ->  z  e.  B ) )
91 nfe1 1748 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y E. y ( x 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A )
9291nfab 2578 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
9323, 92nfcxfr 2571 . . . . . . . 8  |-  F/_ y B
94 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  <Q  z
9593, 94nfrex 2763 . . . . . . 7  |-  F/ y E. z  e.  B  x  <Q  z
96 19.8a 1763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  E. y ( z 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) )
9796, 24sylibr 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  z  e.  B
)
9897adantll 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y )  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  z  e.  B )
99 simpll 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y )  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  x  <Q  z )
10098, 99jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y )  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  (
z  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
101100expcom 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  -> 
( ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y
)  ->  ( z  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
102101eximdv 1633 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  -> 
( E. z ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y )  ->  E. z ( z  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
103 ltbtwnnq 8860 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
<Q  y  <->  E. z ( x 
<Q  z  /\  z  <Q  y ) )
104 df-rex 2713 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  B  x 
<Q  z  <->  E. z ( z  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
105102, 103, 1043imtr4g 263 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  -> 
( x  <Q  y  ->  E. z  e.  B  x  <Q  z ) )
106105impcom 421 . . . . . . 7  |-  ( ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  E. z  e.  B  x  <Q  z )
10795, 106exlimi 1822 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  E. z  e.  B  x  <Q  z )
10858, 107sylbi 189 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  E. z  e.  B  x  <Q  z )
10990, 108jca 520 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  B
)  /\  E. z  e.  B  x  <Q  z ) )
110109rgen 2773 . . 3  |-  A. x  e.  B  ( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  B
)  /\  E. z  e.  B  x  <Q  z )
11182, 110jctir 526 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( (/)  C.  B  /\  B  C.  Q. )  /\  A. x  e.  B  ( A. z ( z 
<Q  x  ->  z  e.  B )  /\  E. z  e.  B  x  <Q  z ) ) )
112 elnp 8869 . 2  |-  ( B  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  B  /\  B  C.  Q. )  /\  A. x  e.  B  ( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  B
)  /\  E. z  e.  B  x  <Q  z ) ) )
113111, 112sylibr 205 1  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322    C. wpss 3323   (/)c0 3630   class class class wbr 4215   ` cfv 5457   Q.cnq 8732   *Qcrq 8737    <Q cltq 8738   P.cnp 8739
This theorem is referenced by:  reclem3pr  8931  reclem4pr  8932  recexpr  8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-ni 8754  df-pli 8755  df-mi 8756  df-lti 8757  df-plpq 8790  df-mpq 8791  df-ltpq 8792  df-enq 8793  df-nq 8794  df-erq 8795  df-plq 8796  df-mq 8797  df-1nq 8798  df-rq 8799  df-ltnq 8800  df-np 8863
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